Prove que para quaisquer dois eventos
e
, são equivalentes as seguintes relações:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um espaço de probabilidade e dois eventos
e
, as afirmações seguintes são logicamente equivalentes:
.
.
.
.
.
.
.
.
Para isso, vamos usar defini\c{c}~ao de subconjunto, de comple\mente-o de conjunto e propriedades b’asicas de uni~ao e intersecc~ao, montando um ciclo de implica\c{c}~oes.
Para isso, vamos usar defini\c{c}~ao de subconjunto, de comple\mente-o de conjunto e propriedades b’asicas de uni~ao e intersecc~ao, montando um ciclo de implica\c{c}~oes.
Passo 2
Mostramos que
implica
.
Se , ent~ao
. Como
, todo elemento de
tamb’em est’a em
; portanto
. Logo
. Assim conclu’imos
Se
Passo 3
Mostramos que
implica
.
Suponha, por absurdo, que exista . Ent~ao
e
. Mas
e a inclus~ao dada implica
, ou seja,
. Contradi\c{c}~ao. Portanto
Suponha, por absurdo, que exista
Passo 4
Mostramos que
implica
.
. Se
, ou’m em
ou’m em
.
- Se
, est’a em . - Se
, como , n~ao pode ser que ; logo .
Assim, isto 'e, .
. Claramente .
Juntando, d’a-se a igualdade
Passo 5
Mostramos que
implica
.
Se , ent~ao
. Como
, segue
. Logo
Se
Resposta
Mostramos um ciclo de implica\c{c}~oes
logo todas as quatro condi\c{c}~oes s~ao equivalentes.