Prove que para quaisquer dois eventos A e B, são equivalentes as seguintes relações: A \subset B, B^{c} \subset A^{c}, A \cap B^{c}=\emptyset e A \cup B=B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um espaço de probabilidade e dois eventos A e B, as afirmações seguintes são logicamente equivalentes:
1. A\subset B.
2. B^{c}\subset A^{c}.
3. A\cap B^{c}=\emptyset.
4. A\cup B = B.
Para isso, vamos usar defini\c{c}~ao de subconjunto, de comple\mente-o de conjunto e propriedades b’asicas de uni~ao e intersecc~ao, montando um ciclo de implica\c{c}~oes.

Passo 2

Mostramos que A\subset B implica B^{c}\subset A^{c}.
Se x\in B^{c}, ent~ao x\notin B. Como A\subset B, todo elemento de A tamb’em est’a em B; portanto x\notin A. Logo x\in A^{c}. Assim conclu’imos
A\subset B\quad\Longrightarrow\quad B^{c}\subset A^{c}.

Passo 3

Mostramos que B^{c}\subset A^{c} implica A\cap B^{c}=\emptyset.
Suponha, por absurdo, que exista x\in A\cap B^{c}. Ent~ao x\in A e x\in B^{c}. Mas x\in B^{c} e a inclus~ao dada implica x\in A^{c}, ou seja, x\notin A. Contradi\c{c}~ao. Portanto
B^{c}\subset A^{c}\quad\Longrightarrow\quad A\cap B^{c}=\emptyset.

Passo 4

Mostramos que A\cap B^{c}=\emptyset implica A\cup B = B.
1. Se x\in A\cup B, ou’m em A ou’m em B.
  • Se x\in B, est’a em B.
  • Se x\in A, como A\cap B^{c}=\emptyset, n~ao pode ser que x\in B^{c}; logo x\in B.
    Assim x\in B, isto 'e, A\cup B\subset B.
    2. Claramente B\subset A\cup B.
    Juntando, d’a-se a igualdade
A\cap B^{c}=\emptyset\quad\Longrightarrow\quad A\cup B = B.

Passo 5

Mostramos que A\cup B = B implica A\subset B.
Se x\in A, ent~ao x\in A\cup B. Como A\cup B = B, segue x\in B. Logo
A\cup B = B\quad\Longrightarrow\quad A\subset B.

Resposta

Mostramos um ciclo de implica\c{c}~oes
A\subset B\;\Longrightarrow\;B^{c}\subset A^{c}\;\Longrightarrow\;A\cap B^{c}=\emptyset\;\Longrightarrow\;A\cup B=B\;\Longrightarrow\;A\subset B,
logo todas as quatro condi\c{c}~oes s~ao equivalentes.