1. Quatro pneus de cada uma das marcas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C foram testados quanto à durabilidade. Os resultados obtidos (em milhares de quilömetros) sāo os que seguem.
Marca Durabilidade
A 34 38 31 35
B 32 34 31 29
C 30 25 28 23
Ao nivel de 1 \% de significância, há evidência de que os pneus tenham diferentes durabilidades médias?

Passo 1

O enunciado dá três amostras independentes de pneus das marcas A, B e C, cada uma com n=4 observações de durabilidade (em milhares de km). Queremos, a 1 % de significância, testar se as médias das três marcas são iguais ou não. O procedimento adequado é a ANOVA one-way, que compara a variabilidade entre grupos com a variabilidade dentro dos grupos.

Passo 2

Calcular as médias de cada grupo e a média geral.
Para A:
\bar{x}_A = \frac{34 + 38 + 31 + 35}{4} = 34{,}5
Para B:
\bar{x}_B = \frac{32 + 34 + 31 + 29}{4} = 31{,}5
Para C:
\bar{x}_C = \frac{30 + 25 + 28 + 23}{4} = 26{,}5
Média geral:
\bar{x} = \frac{34+38+31+35 + 32+34+31+29 + 30+25+28+23}{12} = \frac{370}{12}\approx 30{,}83

Passo 3

Calcular a soma de quadrados entre os grupos \mathrm{SSB} e seu quadrado médio \mathrm{MSB}.
\mathrm{SSB} = \sum_{i\in\{A,B,C\}} n_i\bigl(\bar{x}_i - \bar{x}\bigr)^2 =4(34{,}5-30{,}83)^2 +4(31{,}5-30{,}83)^2 +4(26{,}5-30{,}83)^2 \approx 130{,}67
Como há k=3 grupos,
\mathrm{MSB} = \frac{\mathrm{SSB}}{k-1} = \frac{130{,}67}{2} = 65{,}33

Passo 4

Calcular a soma de quadrados dentro dos grupos \mathrm{SSE} e seu quadrado médio \mathrm{MSE}.
Para A: (34-34{,}5)^2+(38-34{,}5)^2+(31-34{,}5)^2+(35-34{,}5)^2=25
Para B: (32-31{,}5)^2+(34-31{,}5)^2+(31-31{,}5)^2+(29-31{,}5)^2=13
Para C: (30-26{,}5)^2+(25-26{,}5)^2+(28-26{,}5)^2+(23-26{,}5)^2=29
\mathrm{SSE} = 25 + 13 + 29 = 67
Graus de liberdade dentro: N-k=12-3=9, logo
\mathrm{MSE} = \frac{\mathrm{SSE}}{9} = \frac{67}{9} \approx 7{,}44

Passo 5

Calcular a estatística de teste e comparar com o valor crítico de F.
F_{\text{calc}} = \frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSE}} = \frac{65{,}33}{7{,}44} \approx 8{,}78
Para \alpha=0{,}01, df_1=2, df_2=9, o valor crítico é aproximadamente
F_{0{,}01;\,2,9}\approx 8{,}02.
Como F_{\text{calc}}=8{,}78 > 8{,}02, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 a 1 % de significância. Há evidência de que as durabilidades médias das marcas A, B e C são diferentes.