Seja X\) a quantidade de tempo que um livro retirado em um sistema de "empréstimo de duas horas" leva para ser devolvido, e suponha que a f.d.a. seja \[F(x)= \begin{cases}0 & x<0 \\\ \frac{x^{2}}{4} & 0 \leq x<2 \\\\ 1 & x \geq 2\end{cases}
a. Calcule P(X \leq 1)\]. b. Calcule \(P(0,5 \leq X \leq 1).
c. Calcule P(X>1,5).
d. Qual é a duração do empréstimo \widetilde{\mu}. [Resolva F(\widetilde{\mu})=0,5.]
e. Obtenha a função de densidade f(x).
f. Calcule E(X).
g. Calcule V(X) e \sigma_{X}.
h. Se o valor cobrado do indivíduo que retira o livro for h(X)=X^{2} quando a duração do empréstimo for X, calcule a cobrança esperada E[h(X)].

Passo 1

O enunciado define uma v.a. contínua X\) com função de distribuição \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \dfrac{x^{2}}{4}, & 0\le x<2,\\\\ 1, & x\ge2, \end{cases}
e pede: a) algumas probabilidades, b) o valor de \widetilde\mu\] tal que \(F(\widetilde\mu)=0,5, c) a densidade f(x), d) E(X), e) \mathrm{Var}(X) e \sigma_X, e f) E[h(X)] para h(X)=X^2. Vamos usar as propriedades de CDF, derivada para obter densidade e integrais para média e variância.

Passo 2

Para as probabilidades usamos diretamente F.
a)
P(X\le1)=F(1)=\frac{1^{2}}{4}=\frac14.
b)
P(0{,}5\le X\le1)=F(1)-F(0{,}5) =\frac{1}{4}-\frac{(0{,}5)^{2}}{4} =\frac{1}{4}-\frac{0{,}25}{4} =\frac{3}{16}.
c)
P(X>1{,}5)=1-F(1{,}5) =1-\frac{(1{,}5)^{2}}{4} =1-\frac{2{,}25}{4} =\frac{7}{16}.

Passo 3

Para achar \widetilde\mu tal que F(\widetilde\mu)=0,5 resolvemos
\frac{\widetilde\mu^{2}}{4}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde\mu^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde\mu=\sqrt{2}.

Passo 4

A densidade f(x) é a derivada de F(x) em (0,2) e zero fora:
f(x)=F'(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0\le x<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 5

Para a média usamos
E(X)=\int_{0}^{2}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{2}x\cdot\frac{x}{2}\,dx =\frac12\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =\frac12\cdot\frac{2^{3}}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 6

Primeiro calculamos
E(X^{2}) =\int_{0}^{2}x^{2}\,f(x)\,dx =\int_{0}^{2}x^{2}\cdot\frac{x}{2}\,dx =\frac12\int_{0}^{2}x^{3}\,dx =\frac12\cdot\frac{2^{4}}{4} =2.
Então
\mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} =2-\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} =2-\frac{16}{9} =\frac{2}{9},
e o desvio-padrão é
\sigma_{X}=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{\frac{2}{9}} =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Para h(X)=X^{2} temos
E[h(X)]=E(X^{2})=2.

Resposta

a) P(X\le1)=\tfrac{1}{4}.\) b) \(P(0{,}5\le X\le1)=\tfrac{3}{16}.\) c) \(P(X>1{,}5)=\tfrac{7}{16}.\) d) \(\widetilde\mu=\sqrt{2}.\) e) \[f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2},&0\le x<2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
f) E(X)=\tfrac{4}{3}.\] g) \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{2}{9}, \sigma_{X}=\tfrac{\sqrt2}{3}.
h) E[h(X)]=2.