Seja X\) a quantidade de tempo que um livro retirado em um sistema de "empréstimo de duas horas" leva para ser devolvido, e suponha que a f.d.a. seja
\[F(x)= \begin{cases}0 & x<0 \\\ \frac{x^{2}}{4} & 0 \leq x<2 \\\\ 1 & x \geq 2\end{cases}
a. Calcule P(X \leq 1)\].
b. Calcule \(P(0,5 \leq X \leq 1).
c. Calcule P(X>1,5).
d. Qual é a duração do empréstimo \widetilde{\mu}. [Resolva F(\widetilde{\mu})=0,5.]
e. Obtenha a função de densidade f(x).
f. Calcule E(X).
g. Calcule V(X) e \sigma_{X}.
h. Se o valor cobrado do indivíduo que retira o livro for h(X)=X^{2} quando a duração do empréstimo for X, calcule a cobrança esperada E[h(X)].
Passo 1
O enunciado define uma v.a. contínua X\) com função de distribuição
\[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \dfrac{x^{2}}{4}, & 0\le x<2,\\\\ 1, & x\ge2, \end{cases}
e pede: a) algumas probabilidades, b) o valor de \widetilde\mu\] tal que \(F(\widetilde\mu)=0,5, c) a densidade f(x), d) E(X), e) \mathrm{Var}(X) e \sigma_X, e f) E[h(X)] para h(X)=X^2. Vamos usar as propriedades de CDF, derivada para obter densidade e integrais para média e variância.