Seja X uma variável com densidade Uniforme Contínua em [0,2 \pi]. Verifique que U=\operatorname{sen} X \mathrm{e} V=\cos X são não correlacionadas.

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme contínua em [0,2\pi] e define
U = \operatorname{sen} X, \qquad V = \cos X.
Para mostrar que U e V são não correlacionadas, precisamos verificar que
\mathrm{Cov}(U,V) = E[UV] - E[U]\,E[V] = 0.

Passo 2

Calcular as esperanças E[U] e E[V]. Como X é uniforme em [0,2\pi], a densidade é 1/(2\pi). Logo,
E[U] = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi}\,\operatorname{sen} x\,dx = \frac{1}{2\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\bigl(-\cos(2\pi)+\cos0\bigr) = 0.
Do mesmo jeito,
E[V] = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi}\,\cos x\,dx = \frac{1}{2\pi}\bigl[\operatorname{sen} x\bigr]_{0}^{2\pi} = 0.

Passo 3

Calcular E[UV]=E[\operatorname{sen} X\cos X]. Note que \operatorname{sen} x\cos x = \tfrac12\operatorname{sen}(2x). Assim,
E[UV] = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}\,\operatorname{sen} x\cos x\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac12\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = \frac{1}{4\pi}\bigl[-\tfrac12\cos(2x)\bigr]_{0}^{2\pi} = 0.

Passo 4

Agora a covariância:
\mathrm{Cov}(U,V) = E[UV] - E[U]\,E[V] = 0 - 0\cdot 0 = 0.
Como a covariância é zero, U e V são não correlacionadas.

Resposta

U e V são não correlacionadas, pois \mathrm{Cov}(U,V)=0.