Sejam \mathrm{X}, \mathrm{Y} e Z três variáveis aleatórias iid tais que:
P(X=-1)=P(Y=-1)=P(Z=-1)=\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad P(X=1)=P(Y=1)=P(Z=1)=\frac{1}{2}
e seja W a v.a. definida por W=X Y+Z.
a) Qual a função de probabilidade de W ?
b) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{W}) e \operatorname{Var}(\mathrm{W}).

Passo 1

Resumindo o enunciado: X, Y e Z são v.a. independentes, identicamente distribuídas com
P(X=-1)=\tfrac12,\quad P(X=1)=\tfrac12
e definimos
W = X\,Y + Z.
A questão pede:
(a) a função de probabilidade de W;
(b) \mathrm{E}(W) e \operatorname{Var}(W).

Passo 2

Definimos a v.a.
U = X\,Y.
Como X e Y são independentes e simétricas em \pm1, segue que
P(U=-1)=\tfrac12,\quad P(U=1)=\tfrac12.

Passo 3

Escrevemos
W = U + Z.
As v.a. U e Z são independentes e cada uma assume \{-1,1\}, logo
W\in\{-1+(-1),\,-1+1,\,1+(-1),\,1+1\} = \{-2,\,0,\,0,\,2\},
isto é, W só pode assumir os valores -2, 0 ou 2.

Passo 4

Calculamos as probabilidades:
P(W=-2) = P(U=-1,Z=-1) = \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac14,
P(W=2) = P(U=1,Z=1) = \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac14,
e pelo fato de as probabilidades somarem 1,
P(W=0) = 1 - \tfrac14 - \tfrac14 = \tfrac12.
Logo
p_W(w) = \begin{cases} \tfrac14, & w=-2,\\\ \tfrac12, & w=0,\\\ \tfrac14, & w=2,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Cálculo de \mathrm{E}(W) pela linearidade:
\mathrm{E}(W) = \mathrm{E}(U+Z) = \mathrm{E}(U) + \mathrm{E}(Z).
Como U e Z são simétricas em \pm1, vale \mathrm{E}(U)=0 e \mathrm{E}(Z)=0.
Portanto
\mathrm{E}(W) = 0.

Passo 6

Cálculo de \operatorname{Var}(W) pela independência:
\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U+Z) = \operatorname{Var}(U)+\operatorname{Var}(Z)+2\,\mathrm{Cov}(U,Z).
Como U e Z são independentes, \mathrm{Cov}(U,Z)=0. Além disso,
\operatorname{Var}(U)=\mathrm{E}(U^2)-[\mathrm{E}(U)]^2=1-0=1, \quad \operatorname{Var}(Z)=1.
Logo
\operatorname{Var}(W)=1+1=2.

Resposta

(a)
p_W(w) = \begin{cases} \tfrac14, & w=-2,\\\ \tfrac12, & w=0,\\\ \tfrac14, & w=2,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(b) \mathrm{E}(W)=0 e \operatorname{Var}(W)=2.