Sejam
e Z três variáveis aleatórias iid tais que:
e seja
a v.a. definida por
.
a) Qual a função de probabilidade de
?
b) Calcule
e
.
a) Qual a função de probabilidade de
b) Calcule
Passo 1
Resumindo o enunciado:
,
e
são v.a. independentes, identicamente distribuídas com
e definimos
A questão pede:
(a) a função de probabilidade de ;
(b) e
.
(a) a função de probabilidade de
(b)
Passo 2
Definimos a v.a.
Como
e
são independentes e simétricas em
, segue que
Passo 3
Escrevemos
As v.a.
e
são independentes e cada uma assume
, logo
isto é,
só pode assumir os valores
,
ou
.
Passo 4
Calculamos as probabilidades:
e pelo fato de as probabilidades somarem 1,
Logo
Passo 5
Cálculo de
pela linearidade:
Como
e
são simétricas em
, vale
e
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Cálculo de
pela independência:
Como
e
são independentes,
. Além disso,
Logo
Resposta
(a)
(b)
e
.