Sejam
e
variáveis aleatórias em (
) com função de distribuição conjunta dada por
. Mostre que
, com
e
, pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias
e
com função de distribuição conjunta
e pede a probabilidade do retângulo
Para resolver, vamos usar propriedades de probabilidade de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Defina os eventos
Então o evento desejado
pode ser escrito como
pois exige
e ao mesmo tempo
.
Passo 3
Usamos a propriedade
Logo
Passo 4
Pelo princípio da inclusão-exclusão,
Passo 5
Agora identificamos cada termo via a definição de
:
Passo 6
Substituindo em
obtemos
que, reorganizando os termos, é exatamente a forma desejada.