Sejam X e Y variáveis aleatórias em ( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} ) com função de distribuição conjunta dada por F_{X, Y}. Mostre que P\left(a_{1}<X \leq b_{1}, a_{2}<Y \leq b_{2}\right), com a_{1}, b_{1}, a_{2} e b_{2} \in \mathbb{R}, pode ser escrita como:
F_{X, Y}\left(b_{1}, b_{2}\right)+F_{X, Y}\left(a_{1}, a_{2}\right)-F_{X, Y}\left(a_{1}, b_{2}\right)-F_{X, Y}\left(b_{1}, a_{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias X e Y com função de distribuição conjunta
F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,\,Y\le y)
e pede a probabilidade do retângulo
\{\,a_{1}<X\le b_{1},\;a_{2}<Y\le b_{2}\}.
Para resolver, vamos usar propriedades de probabilidade de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Defina os eventos
U=\{X\le b_{1},\,Y\le b_{2}\},\quad E=\{X\le a_{1}\},\quad G=\{Y\le a_{2}\}.
Então o evento desejado
A=\{a_{1}<X\le b_{1},\,a_{2}<Y\le b_{2}\}
pode ser escrito como
A = U \;\cap\; (E\cup G)^{c},
pois exige X\le b_{1},Y\le b_{2} e ao mesmo tempo X>a_{1},Y>a_{2}.

Passo 3

Usamos a propriedade
P(U\cap(E\cup G)^{c}) \;=\; P(U)\;-\;P\bigl(U\cap(E\cup G)\bigr).
Logo
P(A)=P(U)-P\bigl(U\cap(E\cup G)\bigr).

Passo 4

Pelo princípio da inclusão-exclusão,
P\bigl(U\cap(E\cup G)\bigr) = P(U\cap E) \;+\; P(U\cap G)\;-\;P(U\cap E\cap G).

Passo 5

Agora identificamos cada termo via a definição de F_{X,Y}:
P(U)=F_{X,Y}(b_{1},b_{2}),\quad P(U\cap E)=P(X\le a_{1},Y\le b_{2})=F_{X,Y}(a_{1},b_{2}),
P(U\cap G)=P(X\le b_{1},Y\le a_{2})=F_{X,Y}(b_{1},a_{2}),\quad P(U\cap E\cap G)=F_{X,Y}(a_{1},a_{2}).

Passo 6

Substituindo em
P(A)=F_{X,Y}(b_{1},b_{2}) -\bigl[F_{X,Y}(a_{1},b_{2})+F_{X,Y}(b_{1},a_{2})-F_{X,Y}(a_{1},a_{2})\bigr]
obtemos
P(A) =F_{X,Y}(b_{1},b_{2})-F_{X,Y}(a_{1},b_{2})-F_{X,Y}(b_{1},a_{2})+F_{X,Y}(a_{1},a_{2}),
que, reorganizando os termos, é exatamente a forma desejada.

Resposta

P\bigl(a_{1}<X\le b_{1},\,a_{2}<Y\le b_{2}\bigr) =F_{X,Y}(b_{1},b_{2}) +F_{X,Y}(a_{1},a_{2}) -F_{X,Y}(a_{1},b_{2}) -F_{X,Y}(b_{1},a_{2}).