Sendo X e Y variáveis aleatórias em (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}), mostre que \min (X, Y) e \max (X, Y) também são variáveis aleatórias.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X e Y são variáveis aleatórias em (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}), então as funções \omega\mapsto\min\bigl(X(\omega),Y(\omega)\bigr) e \omega\mapsto\max\bigl(X(\omega),Y(\omega)\bigr) também são variáveis aleatórias. Vamos usar a definição: uma função Z\colon\Omega\to\mathbb{R} é variável aleatória se, para todo a\in\mathbb{R}, o conjunto \{\,\omega:Z(\omega)\le a\} pertence a \mathcal{F}. Como \mathcal{F} é fechado em uniões e intersecções, bastará escrever essas pré-imagens de \min e \max em termos de \{X\le a\} e \{Y\le a\}.

Passo 2

Provar que \min(X,Y) é variável aleatória. Para isso note que, para cada a\in\mathbb{R},
\{\min(X,Y)\le a\} =\{\omega:\min\bigl(X(\omega),Y(\omega)\bigr)\le a\} =\{\omega:X(\omega)\le a\;\text{ou}\;Y(\omega)\le a\} =\{X\le a\}\cup\{Y\le a\}.
Como \{X\le a\}\in\mathcal{F} e \{Y\le a\}\in\mathcal{F} (pois X e Y são r.v.), a união está em \mathcal{F}. Logo \min(X,Y) satisfaz a condição de mensurabilidade e é variável aleatória.

Passo 3

Provar que \max(X,Y) é variável aleatória. De modo análogo, para cada a\in\mathbb{R},
\{\max(X,Y)\le a\} =\{\omega:\max\bigl(X(\omega),Y(\omega)\bigr)\le a\} =\{\omega:X(\omega)\le a\;\text{e}\;Y(\omega)\le a\} =\{X\le a\}\cap\{Y\le a\}.
Como \mathcal{F} é fechado em intersecções, segue que \{\max(X,Y)\le a\}\in\mathcal{F}. Portanto \max(X,Y) também é variável aleatória.

Resposta

\min(X,Y) e \max(X,Y) são variáveis aleatórias em (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}).