Sendo
e
variáveis aleatórias em
, mostre que
e
também são variáveis aleatórias.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são variáveis aleatórias em
, então as funções
e
também são variáveis aleatórias. Vamos usar a definição: uma função
é variável aleatória se, para todo
, o conjunto
pertence a
. Como
é fechado em uniões e intersecções, bastará escrever essas pré-imagens de
e
em termos de
e
.
Passo 2
Provar que
é variável aleatória. Para isso note que, para cada
,
Como
e
(pois
e
são r.v.), a união está em
. Logo
satisfaz a condição de mensurabilidade e é variável aleatória.
Passo 3
Provar que
é variável aleatória. De modo análogo, para cada
,
Como
é fechado em intersecções, segue que
. Portanto
também é variável aleatória.