Se X sim Gamma(alpha, beta), onde alpha>0 e beta>0, qual é E X ?

Passo 1

O enunciado diz que f(x) = beta^alphaGamma(alpha),x^alpha-1e^-beta x, x>0 tem distribuição Gama com parâmetros de forma e de taxa , ou seja, sua densidade é
Queremos calcular , usando definição de esperança e propriedades da função Gama.

Passo 2

Pela definição de esperança de variável contínua,
E[X] = integral0^infty x,f(x),dx = integral0^infty x ,beta^alphaGamma(alpha),x^alpha-1e^-beta x,dx = beta^alphaGamma(alpha)integral0^infty x^alphae^-beta x,dx

Passo 3

Para avaliar a integral, usamos a substituição integral0^infty x^alphae^-beta x,dx = integral0^infty l(tbetar)^!alpha e^-t,dtbeta = 1beta^alpha+1integral0^infty t^alphae^-t,dt = Gamma(alpha+1)beta^alpha+1 , de modo que e . Então

Passo 4

Substituindo de volta em E[X] = beta^alphaGamma(alpha) cdot Gamma(alpha+1)beta^alpha+1 = Gamma(alpha+1)Gamma(alpha)cdot1beta ,
E[X] = alpha,Gamma(alpha)Gamma(alpha)cdot1beta = alphabeta
Como vale , temos

Resposta

E[X] = alphabeta