15.5.1 Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída, com especificações de 20 a 32 unidades.
a. Que valor de \sigma é necessário para que P C R seja igual a 1,5 ?
b. Qual o valor da média do processo que minimiza a fração defeituosa? Essa escolha para a média depende do valor de \sigma ?

Passo 1

O enunciado diz que a característica de qualidade segue uma distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com limites de especificação inferior e superior L = 20 e U = 32. Pede-se (a) o valor de \sigma para que o índice de capacidade do processo P C R seja igual a 1,5 e (b) a escolha de \mu que minimiza a fração defeituosa, bem como saber se essa escolha depende de \sigma.

Passo 2

O índice de capacidade do processo é definido por
P C R = \frac{U - L}{6\,\sigma}.
Aqui temos U - L = 32 - 20 = 12. Queremos P C R = 1,5, então
\frac{12}{6\,\sigma} = 1,5.

Passo 3

Da equação
\frac{12}{6\,\sigma} = 1,5
temos
\frac{12}{6} = 1,5\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad 2 = 1,5\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad \sigma = \frac{2}{1,5} = \frac{4}{3}\approx1,333\text{ unidades}.

Passo 4

Para minimizar a fração defeituosa num processo normal, devemos centrar a média exatamente no ponto médio entre L e U, pois assim as probabilidades de cair abaixo de L ou acima de U são iguais e somam o mínimo possível. Logo,
\mu = \frac{L + U}{2} = \frac{20 + 32}{2} = 26.
Como a escolha de \mu se baseia apenas na simetria dos limites de especificação, ela não depende do valor de \sigma. Sempre que o processo for normal e os limites fixos, o melhor é colocar a média no ponto médio."]))print( default_api.SolutionSteps( solution_steps=[

Resposta

a. \sigma = \tfrac{4}{3} unidades.
b. \mu = 26, e essa escolha não depende de \sigma.