Suponha que a variável aleatória X tenha distribuição uniforme contínua em [1, a], em que a é um parâmetro desconhecido. Temos uma amostra aleatória de 15 em tamanho, selecionada de uma população representada por X: 4,5,1,3,8,6,6,4,7,4,4,3,7,2,1,6,4,4,2,0,8,4,6,5,7,3,3,4,7,4. Encontre uma estimativa pontual de a. Utilize um estimador imparcial.

Passo 1

O enunciado afirma que X\sim \mathrm{Unif}(1,a) e que temos uma amostra de tamanho 15 com os valores listados. Para estimar a de forma imparcial num modelo uniforme contínuo, normalmente usaríamos o fato de que, para X_i\sim\mathrm{Unif}(1,a) i.i.d. de tamanho n, o estimador baseado na estatística X_{(n)}=\max_i X_i e
\hat a_{\rm U} \;=\;1+\frac{n+1}{n}\bigl(X_{(n)}-1\bigr)
é não-viciado.

Passo 2

Contudo, a amostra fornecida contém valores menores que 1 (por exemplo, 0), o que é incompatível com a suposição de suporte [1,a]. Além disso, o número de observações listadas (30 valores) não bate com o enunciado (“tamanho 15”).

Resposta

Não há como estimar a com a amostra fornecida, pois os dados violam o suporte [1,a] do modelo e o tamanho listado não confere com o declarado.