Temos dois estimadores imparciais: \hat{\mu}=\bar{X}, e \hat{\sigma}^{2}=S^{2}. Suponha que X seja uma variável aleatória com média \mu e variância \sigma^{2}. Considere uma amostra aleatória de tamanho n=5 selecionada de uma população representada por X : x_{1}=28, x_{2}=27, x_{3}=34, x_{4}=21, x_{5}=38. Determine uma estimativa pontual de \mu e \sigma^{2}. Utilize estimadores imparciais.

Passo 1

Temos uma amostra de tamanho n=5 com os valores
x_1=28,\;x_2=27,\;x_3=34,\;x_4=21,\;x_5=38.
Queremos estimar pontualmente a média \mu e a variância \sigma^2 usando estimadores imparciais:
\hat{\mu} = \bar X \quad\text{e}\quad \hat{\sigma}^2 = S^2,
onde
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad\text{e}\quad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2.

Passo 2

Calcular \bar X. Primeiro somamos os dados:
\sum_{i=1}^5 x_i = 28 + 27 + 34 + 21 + 38 = 148.
Logo,
\bar X = \frac{148}{5} = 29,6.

Passo 3

Calcular S^2. Encontramos a soma dos quadrados dos desvios em relação a \bar X:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar X)^2 &= (28 - 29,6)^2 + (27 - 29,6)^2 + (34 - 29,6)^2\\\ &\quad + (21 - 29,6)^2 + (38 - 29,6)^2 = 173,2. \end{aligned}
Como n-1=4, vem
S^2 = \frac{173,2}{4} = 43,3.

Resposta

\hat{\mu} = 29,6. \hat{\sigma}^2 = 43,3.