Uma urna contém n bolas numeradas 1,2, ldots, n. Uma pessoa tirauma bola e a devolve, tira outra e a devolve, continuando até tirar uma bola pela segunda vez. Seja X o número total de retiradas necessárias para obter essa repetição.
(a) Ache a distribuição de X. (Sugestão. Ache P(X>k).)
(b) Mostre que
E X & =2+(1-1n)+(1-1n)(1-2n)+ldots+ & +(1-1n)(1-2n) ldots(1-n-1n)

Passo 1

O enunciado trata de um experimento de retiradas com reposição de uma urna que contém n bolas numeradas de 1 a n, e define X como o número de retiradas até que alguma bola saia pela segunda vez. O conteúdo é distribuição de tempo de parada para a primeira repetição. Para resolver (a) vamos achar Pr(X>k), que é a probabilidade de não haver repetição nas primeiras k retiradas; para (b) usaremos a fórmula de soma de “cauda” para esperança, ou seja
E(X)=sumk=0^inftyPr(X>k)

Passo 2

Calculemos Pr(X>k) para k<= n. Não ter repetição nas primeiras k retiradas significa que elas são todas distintas. Na primeira retirada há n opções, na segunda n-1, até a k-ésima n-(k-1). Como cada retirada tem n resultados possíveis com mesma probabilidade,
Pr(X>k) =n,(n-1),(n-2)cdotsl(n-(k-1)r)n^k =prodi=0^k-1l(1-inr)
Para k>n vale Pr(X>k)=0, pois com n+1 retiradas forçosamente há repetição.

Passo 3

A partir de Pr(X>k) obtemos a distribuição de massa de X: para k>=2,
Pr(X=k) =Pr(X>k-1)-Pr(X>k) =prodi=0^,k-2l(1-inr);-;prodi=0^,k-1l(1-inr)
Fatorando prodi=0^k-2(1-i/n) fica também
Pr(X=k) =prodi=0^k-2l(1-inr),l[1-l(1-k-1nr)r] =k-1n,prodi=0^k-2l(1-inr)

Passo 4

Para a esperança usamos a identidade de cauda:
E(X)=sumk=0^inftyPr(X>k) =sumk=0^n-1Pr(X>k),
pois Pr(X>k)=0 para k>= n. Note que
Pr(X>0)=1, Pr(X>1)=1, Pr(X>2)=1-1n, Pr(X>3)=l(1-1nr)l(1-2nr),;dots
Logo
E(X) =1 + 1 + l(1-1nr) + l(1-1nr)l(1-2nr) + cdots + prodi=1^n-1l(1-inr)

Passo 5

Agrupando os dois primeiros termos em 2, obtemos exatamente a forma pedida:
E(X) =2 +l(1-1nr) +l(1-1nr)l(1-2nr) +cdots +l(1-1nr)l(1-2nr)cdotsl(1-n-1nr)

Resposta

(a) Para k=2,3,dots,n+1,
Pr(X>k)=prodi=0^k-1l(1-inr), Pr(X=k)=Pr(X>k-1)-Pr(X>k) =k-1nprodi=0^k-2l(1-inr)
(b)
E(X) =2 +l(1-1nr) +l(1-1nr)l(1-2nr) +cdots +prodi=1^n-1l(1-inr)

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