Uma urna contém n bolas numeradas 1,2, ldots, n. Uma pessoa tirauma bola e a devolve, tira outra e a devolve, continuando até tirar uma bola pela segunda vez. Seja X o número total de retiradas necessárias para obter essa repetição.
(a) Ache a distribuição de X. (Sugestão. Ache P(X>k).)
(b) Mostre que
E X & =2+(1-1n)+(1-1n)(1-2n)+ldots+ & +(1-1n)(1-2n) ldots(1-n-1n)

Passo 1

O enunciado trata de um experimento de retiradas com reposição de uma urna que contém E(X)=sumk=0^inftyPr(X>k) bolas numeradas de a , e define como o número de retiradas até que alguma bola saia pela segunda vez. O conteúdo é distribuição de tempo de parada para a primeira repetição. Para resolver (a) vamos achar , que é a probabilidade de não haver repetição nas primeiras retiradas; para (b) usaremos a fórmula de soma de “cauda” para esperança, ou seja

Passo 2

Calculemos Pr(X>k) =n,(n-1),(n-2)cdotsl(n-(k-1)r)n^k =prodi=0^k-1l(1-inr) para . Não ter repetição nas primeiras retiradas significa que elas são todas distintas. Na primeira retirada há opções, na segunda , até a -ésima . Como cada retirada tem resultados possíveis com mesma probabilidade,
Para vale , pois com retiradas forçosamente há repetição.

Passo 3

A partir de Pr(X=k) =Pr(X>k-1)-Pr(X>k) =prodi=0^,k-2l(1-inr);-;prodi=0^,k-1l(1-inr) obtemos a distribuição de massa de Pr(X=k) =prodi=0^k-2l(1-inr),l[1-l(1-k-1nr)r] =k-1n,prodi=0^k-2l(1-inr) : para ,
Fatorando fica também

Passo 4

Para a esperança usamos a identidade de cauda:
E(X)=sumk=0^inftyPr(X>k) =sumk=0^n-1Pr(X>k),
pois Pr(X>0)=1, Pr(X>1)=1, Pr(X>2)=1-1n, Pr(X>3)=l(1-1nr)l(1-2nr),;dots para E(X) =1 + 1 + l(1-1nr) + l(1-1nr)l(1-2nr) + cdots + prodi=1^n-1l(1-inr) . Note que
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Passo 5

Agrupando os dois primeiros termos em E(X) =2 +l(1-1nr) +l(1-1nr)l(1-2nr) +cdots +l(1-1nr)l(1-2nr)cdotsl(1-n-1nr) , obtemos exatamente a forma pedida:

Resposta

(a) Para Pr(X>k)=prodi=0^k-1l(1-inr), Pr(X=k)=Pr(X>k-1)-Pr(X>k) =k-1nprodi=0^k-2l(1-inr) ,
E(X) =2 +l(1-1nr) +l(1-1nr)l(1-2nr) +cdots +prodi=1^n-1l(1-inr)
(b)