Uma urna contém
bolas numeradas
. Uma pessoa tirauma bola e a devolve, tira outra e a devolve, continuando até tirar uma bola pela segunda vez. Seja
o número total de retiradas necessárias para obter essa repetição.
(a) Ache a distribuição de
. (Sugestão. Ache
.)
(b) Mostre que
(a) Ache a distribuição de
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de um experimento de retiradas com reposição de uma urna que contém
bolas numeradas de
a
, e define
como o número de retiradas até que alguma bola saia pela segunda vez. O conteúdo é distribuição de tempo de parada para a primeira repetição. Para resolver (a) vamos achar
, que é a probabilidade de não haver repetição nas primeiras
retiradas; para (b) usaremos a fórmula de soma de “cauda” para esperança, ou seja
Passo 2
Calculemos
para
. Não ter repetição nas primeiras
retiradas significa que elas são todas distintas. Na primeira retirada há
opções, na segunda
, até a
-ésima
. Como cada retirada tem
resultados possíveis com mesma probabilidade,
Para
vale
, pois com
retiradas forçosamente há repetição.
Passo 3
A partir de
obtemos a distribuição de massa de
: para
,
Fatorando
fica também
Passo 4
Para a esperança usamos a identidade de cauda:
pois
para
. Note que
Logo
Passo 5
Agrupando os dois primeiros termos em
, obtemos exatamente a forma pedida:
Resposta
(a) Para
,
(b)