Qual a probabilidade de que numa sequência de 10 vermelhos do semáforo ocorram pelo menos dois vermelhos com alto risco de acidentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta: qual a probabilidade de, em uma sequência de 10 sinais de trânsito vermelhos, ocorrerem pelo menos dois vermelhos com alto risco de acidentes? A matéria envolvida aqui é probabilidade, especificamente probabilidade binomial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos que acontecem várias vezes de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos dois vermelhos com alto risco de acidentes”. Isso quer dizer que queremos saber a chance de ter 2 ou mais desses vermelhos perigosos dentro dos 10 vermelhos totais.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos usar a probabilidade binomial. A fórmula geral é:
P(k) = C(n, k) cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
  • $ n $ é o número total de ensaios.

Passo 4

No nosso caso:
  • $ n = 10 $ (os 10 vermelhos).
  • Queremos $ k \geq 2 $.
  • $ p $ não foi fornecido, então vamos manter como $ p $.
Mas para facilitar, a probabilidade de pelo menos dois sucessos é igual a 1 menos a probabilidade de nenhum sucesso e menos a probabilidade de exatamente um sucesso:
n = 10

Passo 5

Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $:
  • Para $ P(0) $:
P(0)
  • Para $ P(1) $:
P(1)

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula de $ P(\geq 2) $:
P(>= 2)

Resposta

A probabilidade de que, numa sequência de 10 vermelhos do semáforo, ocorram pelo menos dois vermelhos com alto risco de acidentes é:
P(>= 2) = 1 - (1 - p)^10 - 10 cdot p cdot (1 - p)^9
Onde $ p $ é a probabilidade de um único vermelho ser de alto risco.

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