Problema 57

A posição de uma partícula ao longo de uma linha reta é dada por
s=\left(t^{3}-9 t^{2}+15 t\right) f t,
onde t está em segundos. Determine a aceleração máxima e a velocidade máxima durante o intervalo de tempo 0 \leq t \leq 10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
s(t)=\bigl(t^{3}-9\,t^{2}+15\,t\bigr)\,\text{ft}
no intervalo 0\le t\le10. Precisamos usar cinemática de uma dimensão: a velocidade é
v(t)=\frac{ds}{dt}
e a aceleração é
a(t)=\frac{dv}{dt}.

Passo 2

Derivando s(t) para obter a velocidade:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-9t^{2}+15t\bigr) =3t^{2}-18t+15\quad\text{(ft/s)}.

Passo 3

Derivando v(t) para obter a aceleração:
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-18t+15\bigr) =6t-18\quad\text{(ft/s}^2\text{)}.

Passo 4

Como a(t)=6t-18 é uma função afim crescente, seu valor mínimo em [0,10] é em t=0 e o máximo em t=10.
a(0)=6\cdot0-18=-18,\quad a(10)=6\cdot10-18=60-18=42.
Logo, a aceleração máxima é \displaystyle 42,ft/s ^2.

Passo 5

Para encontrar o ponto crítico de v(t) fazemos a(t)=0:
6t-18=0\implies t=3.
Em t=3
v(3)=3\cdot3^{2}-18\cdot3+15=27-54+15=-12\\ (\text{ft/s}),
que é um mínimo. Agora avaliamos nos extremos t=0 e t=10:
v(0)=15,\quad v(10)=3\cdot10^{2}-18\cdot10+15=300-180+15=135\quad\text{(ft/s)}.
O maior valor é 135,ft/s em t=10.

Resposta

A aceleração máxima é 42,ft/s ^2 e a velocidade máxima é 135,ft/s.

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