Use a regra da cadeia e encontre \dot{y} e \ddot{y} em termos de x, \dot{x} e \ddot{x} se:
y=6 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado define a função dependente do tempo
y(t)=6\sin\bigl(x(t)\bigr).
Para encontrar \dot y e \ddot y em função de x,\dot x,\ddot x, vamos aplicar a regra da cadeia e, depois, a regra do produto ao derivar em relação a t.

Passo 2

Para calcular \dot y usamos a regra da cadeia. Se y=6\sin x, então
\frac{dy}{dt} =6\cos x\;\frac{dx}{dt},
ou seja,
\dot y=6\cos x\;\dot x.

Passo 3

Para obter \ddot y derivamos \dot y=6\cos x\,\dot x em relação a t, usando a regra do produto e novamente a cadeia:
\ddot y =\frac{d}{dt}\bigl(6\cos x\bigr)\,\dot x +6\cos x\,\ddot x.
Como \frac{d}{dt}(\cos x)=-\sin x\,\dot x, temos
\frac{d}{dt}\bigl(6\cos x\bigr) =6(-\sin x\,\dot x) =-6\sin x\,\dot x.
Substituindo,
\ddot y =(-6\sin x\,\dot x)\,\dot x +6\cos x\,\ddot x =6\cos x\,\ddot x -6\sin x\,\dot x^{2}.

Resposta

\displaystyle \dot y=6\cos x\,\dot x \displaystyle \ddot y=6\cos x\,\ddot x-6\sin x\,\dot x^{2}

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