Problema 65

Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 2 m, de tal forma que sua posição em função do tempo é dada por \theta=\left(5 t^{2}\right) \mathrm{rad}, onde t está em segundos. Determine a magnitude da aceleração da partícula quando \theta=30^{\circ}. A partícula parte do repouso em \theta=0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula move-se em círculo de raio r=2 m com posição angular dada por
\theta(t)=5\,t^{2}\quad(\text{rad}),
onde t está em segundos. Precisamos encontrar a magnitude da aceleração total quando \theta=30^\circ. Vamos usar cinemática rotacional, decompondo a aceleração em componente tangencial a_{t} e normal (centrípeta) a_{r}.

Passo 2

Da função \theta(t) obtemos a velocidade angular \omega(t) e a aceleração angular \alpha(t) por
\omega=\frac{d\theta}{dt}=10\,t,
\alpha=\frac{d\omega}{dt}=10\quad(\text{rad/s}^2).

Passo 3

Para achar o instante em que \theta=30^\circ, convertemos para radianos:
30^\circ = \frac{\pi}{6}\,\text{rad}.
Então
5\,t^{2}=\frac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{\pi}{30}}.

Passo 4

No instante t=\sqrt{\pi/30}, a velocidade angular vale
\omega=10\,t=10\,\sqrt{\frac{\pi}{30}},
e a aceleração centrípeta (normal) é
a_{r}=r\,\omega^{2} =2\;\biggl(10\,\sqrt{\tfrac{\pi}{30}}\biggr)^{2} =2\;\frac{100\pi}{30} =\frac{200\pi}{30} =\frac{20\pi}{3} \approx 20{,}94\;\text{m/s}^2.

Passo 5

A componente tangencial da aceleração é dada por
a_{t}=r\,\alpha =2\cdot 10 =20\;\text{m/s}^2.

Passo 6

A magnitude da aceleração total é
a=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{t}^{2}} =\sqrt{\bigl(\tfrac{20\pi}{3}\bigr)^{2}+20^{2}} \approx \sqrt{(20{,}94)^{2}+400} \approx 28{,}97\;\text{m/s}^2.

Resposta

A magnitude da aceleração quando \theta=30^\circ é aproximadamente 29{,}0\;\mathrm{m/s}^2.

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