Problema 65

Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 2 m, de tal forma que sua posição em função do tempo é dada por \theta=\left(5 t^{2}\right) \mathrm{rad}, onde t está em segundos. Determine a magnitude da aceleração da partícula quando \theta=30^{\circ}. A partícula parte do repouso em \theta=0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que se move em trajetória circular de raio 2 m, com posição angular dada por \theta(t)=5\,t^2 rad. O conteúdo envolvido é cinemática de movimento circular, em que devemos calcular a velocidade angular \omega, a aceleração angular \alpha, depois obter as componentes da aceleração tangencial a_t e centrípeta a_r e, por fim, o módulo da aceleração resultante.

Passo 2

Para achar o instante em que \theta=30^\circ, primeiro convertemos para radianos:
30^\circ=\frac{\pi}{6}.
Da relação \theta(t)=5t^2, temos
5\,t^2=\frac{\pi}{6}
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t^2=\frac{\pi}{30} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{\pi}{30}}.

Passo 3

Calculamos a velocidade angular e a aceleração angular derivando \theta(t):
\omega=\frac{d\theta}{dt}=10\,t,
\alpha=\frac{d\omega}{dt}=10\quad(\text{constante}).

Passo 4

A aceleração tangencial vale
a_t = r\,\alpha = 2\cdot10 = 20\text{ m/s}^2,
e a aceleração centrípeta é
a_r = r\,\omega^2 = 2\,(10\,t)^2 = 200\,t^2.
Substituindo t^2=\pi/30 obtém-se
a_r = 200\frac{\pi}{30} = \frac{20\pi}{3}\text{ m/s}^2.

Passo 5

O módulo da aceleração resultante é
a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{20^2 + \Bigl(\frac{20\pi}{3}\Bigr)^2} = 20\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}} \approx 28{,}97\text{ m/s}^2.

Resposta

A magnitude da aceleração quando \theta=30^\circ é aproximadamente
28{,}97\text{ m/s}^2.

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