Problema de aquecimento de um objeto: Um objeto está sendo aquecido por uma fonte térmica com uma taxa de calor constante. A temperatura T(t) do objeto segue a equação diferencial:
Onde \alpha é uma constante de proporcionalidade, T_{\text {ambiente }} é a temperatura ambiente, e T_{0} é a temperatura inicial do objeto.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial e pede encontrar a evolução temporal da temperatura do objeto. Informações fornecidas:
A equação diferencial: \frac{dT}{dt}=\alpha\bigl(T_{\text{ambiente}}-T\bigr).
Condição inicial: T(0)=T_{0}.
Parâmetros conhecidos (constantes): \alpha (constante de proporcionalidade), T_{\text{ambiente}} (temperatura ambiente) e T_{0} (temperatura inicial).
O que se pede explicitamente: determinar T(t), a temperatura do objeto em função do tempo t, que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método: a equação é de primeira ordem e separável (ou equivalentemente é uma equação linear de coeficiente constante). O método mais direto e didático aqui é separar variáveis e integrar — é simples, rápido e dispensa fatores complicados. Vou usar separação de variáveis passo a passo.
Passo 3
Reescrever a equação de forma que as quantidades em T fiquem de um lado e as em t do outro. Primeiro reorganizo a equação para evidenciar a diferença (T-T_{\text{ambiente}}):
Agora separo as variáveis, colocando termos com T à esquerda e t à direita:
\frac{dT}{T-T_{\text{ambiente}}}=-\alpha\,dt.
Explicação didática: dividir por (T-T_{\text{ambiente}}) é possível enquanto estivermos considerando intervalos onde esse denominador não é zero; a integração cuidará do caso geral e da constante de integração.
Passo 4
Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
Chamo C_{1}=e^{C}, que é uma constante positiva, e removo o valor absoluto absorvendo eventual sinal em uma constante real C_{2}. Assim, a forma geral da solução é
T-T_{\text{ambiente}}=C_{2}e^{-\alpha t},
onde C_{2} é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero).
Passo 5
Determino a constante C_{2} usando a condição inicial T(0)=T_{0}. Substituindo t=0 na solução geral:
T_{0}-T_{\text{ambiente}}=C_{2}e^{0}=C_{2}.
Logo C_{2}=T_{0}-T_{\text{ambiente}}. Substituindo de volta, obtemos a solução particular:
Explicação do resultado: a diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente decai exponencialmente com taxa \alpha.
Passo 6
Interpretações úteis para usar na prova (como aplicar rápido em exercícios):
Comportamento em longo prazo: \lim_{t\to\infty}T(t)=T_{\text{ambiente}}, ou seja, a temperatura do objeto tende para a temperatura ambiente.
Constante de tempo: define-se \tau=\dfrac{1}{\alpha}. Em t=\tau a diferença \bigl|T(t)-T_{\text{ambiente}}\bigr| passou para e^{-1}\approx0{,}368 vezes a diferença inicial.
Tempo para reduzir a diferença pela metade (meia-vida térmica): resolver \mathrm{e}^{-\alpha t}=1/2 dá t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\alpha}.
Para calcular o tempo necessário para atingir uma temperatura desejada T^{*}, isolar t em T^{*}=T_{\text{ambiente}}+\bigl(T_{0}-T_{\text{ambiente}}\bigr)e^{-\alpha t}
leva a t=\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{T_{0}-T_{\text{ambiente}}}{T^{*}-T_{\text{ambiente}}}\right),
válido quando T^{*} está entre T_{0} e T_{\text{ambiente}} (caso contrário a expressão de log pode dar sinal invertido; atenção ao sinal e ao significado físico).