Problema de aquecimento de um objeto: Um objeto está sendo aquecido por uma fonte térmica com uma taxa de calor constante. A temperatura T(t) do objeto segue a equação diferencial:
\frac{d T}{d t}=\alpha\left(T_{\text {ambiente }}-T\right), \quad T(0)=T_{0}
Onde \alpha é uma constante de proporcionalidade, T_{\text {ambiente }} é a temperatura ambiente, e T_{0} é a temperatura inicial do objeto.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial e pede encontrar a evolução temporal da temperatura do objeto. Informações fornecidas:
  • A equação diferencial: \frac{dT}{dt}=\alpha\bigl(T_{\text{ambiente}}-T\bigr).
  • Condição inicial: T(0)=T_{0}.
  • Parâmetros conhecidos (constantes): \alpha (constante de proporcionalidade), T_{\text{ambiente}} (temperatura ambiente) e T_{0} (temperatura inicial).
    O que se pede explicitamente: determinar T(t), a temperatura do objeto em função do tempo t, que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método: a equação é de primeira ordem e separável (ou equivalentemente é uma equação linear de coeficiente constante). O método mais direto e didático aqui é separar variáveis e integrar — é simples, rápido e dispensa fatores complicados. Vou usar separação de variáveis passo a passo.

Passo 3

Reescrever a equação de forma que as quantidades em T fiquem de um lado e as em t do outro. Primeiro reorganizo a equação para evidenciar a diferença (T-T_{\text{ambiente}}):
\frac{dT}{dt}=\alpha\bigl(T_{\text{ambiente}}-T\bigr)=-\alpha\bigl(T-T_{\text{ambiente}}\bigr).
Agora separo as variáveis, colocando termos com T à esquerda e t à direita:
\frac{dT}{T-T_{\text{ambiente}}}=-\alpha\,dt.
Explicação didática: dividir por (T-T_{\text{ambiente}}) é possível enquanto estivermos considerando intervalos onde esse denominador não é zero; a integração cuidará do caso geral e da constante de integração.

Passo 4

Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{dT}{T-T_{\text{ambiente}}}=\int -\alpha\,dt.
A integral à esquerda é a integral da função \dfrac{1}{u} com u=T-T_{\text{ambiente}}, cuja primitiva é \ln|u|. Portanto:
\ln\bigl|T-T_{\text{ambiente}}\bigr|=-\alpha t+C,
onde C é a constante de integração. Para eliminar o logaritmo, exponencio ambos os lados:
\bigl|T-T_{\text{ambiente}}\bigr|=e^{-\alpha t+C}=e^{C}e^{-\alpha t}.
Chamo C_{1}=e^{C}, que é uma constante positiva, e removo o valor absoluto absorvendo eventual sinal em uma constante real C_{2}. Assim, a forma geral da solução é
T-T_{\text{ambiente}}=C_{2}e^{-\alpha t},
onde C_{2} é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero).

Passo 5

Determino a constante C_{2} usando a condição inicial T(0)=T_{0}. Substituindo t=0 na solução geral:
T_{0}-T_{\text{ambiente}}=C_{2}e^{0}=C_{2}.
Logo C_{2}=T_{0}-T_{\text{ambiente}}. Substituindo de volta, obtemos a solução particular:
T(t)=T_{\text{ambiente}}+\bigl(T_{0}-T_{\text{ambiente}}\bigr)e^{-\alpha t}.
Explicação do resultado: a diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente decai exponencialmente com taxa \alpha.

Passo 6

Interpretações úteis para usar na prova (como aplicar rápido em exercícios):
  • Comportamento em longo prazo: \lim_{t\to\infty}T(t)=T_{\text{ambiente}}, ou seja, a temperatura do objeto tende para a temperatura ambiente.
  • Constante de tempo: define-se \tau=\dfrac{1}{\alpha}. Em t=\tau a diferença \bigl|T(t)-T_{\text{ambiente}}\bigr| passou para e^{-1}\approx0{,}368 vezes a diferença inicial.
  • Tempo para reduzir a diferença pela metade (meia-vida térmica): resolver \mathrm{e}^{-\alpha t}=1/2 t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\alpha}.
  • Para calcular o tempo necessário para atingir uma temperatura desejada T^{*}, isolar t em T^{*}=T_{\text{ambiente}}+\bigl(T_{0}-T_{\text{ambiente}}\bigr)e^{-\alpha t}
leva a t=\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{T_{0}-T_{\text{ambiente}}}{T^{*}-T_{\text{ambiente}}}\right),
válido quando T^{*} está entre T_{0} e T_{\text{ambiente}} (caso contrário a expressão de log pode dar sinal invertido; atenção ao sinal e ao significado físico).

Resposta

T(t)=T_{\text{ambiente}}+\bigl(T_{0}-T_{\text{ambiente}}\bigr)e^{-\alpha t}

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