Problema: Dado um número
inteiro e positivo, calcular a soma dos números inteiros pares e a soma dos números inteiros ímpares de 1 até
(intervalo [1,N]).
(a) Escreva o algoritmo (na forma matemática) para resolver esse problema, indicando explicitamente os somatórios (
) envolvidos.
(b) Escreva um programa que resolve o problema, ou seja, o usuário digita um número inteiro positivo qualquer (N) e seja exibido na tela a soma dos números pares e a soma dos números ímpares de 1 até N .
(a) Escreva o algoritmo (na forma matemática) para resolver esse problema, indicando explicitamente os somatórios (
(b) Escreva um programa que resolve o problema, ou seja, o usuário digita um número inteiro positivo qualquer (N) e seja exibido na tela a soma dos números pares e a soma dos números ímpares de 1 até N .
Passo 1
O que o problema pede e o que já foi dado:
-
Pede-se calcular duas quantidades a partir de um inteiro positivo dado
: - A soma de todos os números inteiros pares entre
e (inclusive), ou seja, soma dos pares no intervalo . - A soma de todos os números inteiros ímpares entre
e (inclusive), ou seja, soma dos ímpares no intervalo .
- A soma de todos os números inteiros pares entre
-
Informação dada:
é um número inteiro e positivo. Não há outras restrições. -
Objetivo imediato neste passo: ficou claro que devemos devolver duas somas (par e ímpar) para qualquer
.
Passo 2
Contagem de quantos pares e quantos ímpares existem entre
e
— passo essencial para montar os somatórios.
- Números pares entre
e têm a forma . A quantidade de pares é o número de inteiros tais que . Portanto definimos
ou seja,
é o número de termos pares no intervalo
. Exemplos rápidos: se
então
(pares:
); se
então
(pares:
).
- Números ímpares entre
e têm a forma . A quantidade de ímpares é
Por exemplo, para
temos
(ímpares:
); para
temos
.
Passo 3
Escrever os somatórios com o símbolo
(parte (a) pede isso explicitamente).
- Soma dos pares (usando índices
):
Aqui cada termo
gera a sequência
.
- Soma dos ímpares (usando índices
):
Aqui cada termo
gera
. Note que
garante que
.
Passo 4
Simplificar os somatórios para fórmulas fechadas (útil na prova e no programa — dá para calcular em tempo constante).
Primeiro um lembrete útil: soma dos primeiros
inteiros positivos tem fórmula conhecida
Explicação curta desta fórmula (método de emparelhamento): escreva a soma duas vezes
Somando termo a termo você obtém
, então
. É um truque clássico e fácil de lembrar.
Agora use esse resultado:
- Para a soma dos pares:
Portanto, em forma fechada,
- Para a soma dos ímpares:
Portanto,
Observação alternativa (útil na prova): você também pode calcular a soma dos ímpares subtraindo a soma dos pares da soma total de
até
:
As duas maneiras dão o mesmo resultado porque
.
Passo 5
Coloquei aqui o algoritmo na forma matemática (passo a passo) solicitado em (a), explícito com
e também com as fórmulas fechadas:
- Passos algorítmicos (forma matemática com somatórios):
- Fórmulas fechadas equivalentes (úteis para calcular sem somar termo a termo):
Isto conclui a resposta matemática pedida em (a).
Passo 6
Programa que resolve o problema (parte (b)). Vou dar um programa em Python simples, direto e verificável. O programa lê
, checa se é positivo e imprime as duas somas usando as fórmulas fechadas (complexidade
; não precisa somar elemento a elemento).
Cole e execute este código em um interpretador Python 3:
# Programa em Python para somar pares e ímpares de 1 até N
def main():
N = int(input("Digite um inteiro positivo N: "))
if N <= 0:
print("Erro: N deve ser inteiro positivo.")
return
m = N // 2 # m = floor(N/2)
t = N - m # t = ceil(N/2)
soma_pares = m * (m + 1)
soma_impares = t * t
print("Soma dos pares:", soma_pares)
print("Soma dos ímpares:", soma_impares)
if __name__ == "__main__":
main()
Explicação rápida do programa:
N // 2em Python calcula. - Calculamos
metcomo nas fórmulas anteriores. soma_pares = m*(m+1)implementa. soma_impares = t*timplementa. - O programa imprime as duas somas.
Passo 7
Verificações numéricas (exemplos para fixar a ideia):
-
Exemplo
: -
, . -
(confere: ). -
(confere: ).
-
-
Exemplo
: -
, . -
(confere: ). -
(confere: ).
-
Esses exemplos ajudam a ganhar confiança — risca o medo: funciona e é rápido.
Passo 8
Dica para a prova: memorize as duas expressões fechadas
ou calcule a partir de
e subtraia os pares. Em prova, escreva claramente
e
e mostre a simplificação do somatório — isso ganha pontos.
Resposta
(a)
com
\n
com
(b)
# Programa em Python para somar pares e ímpares de 1 até N
def main():
N = int(input("Digite um inteiro positivo N: "))
if N <= 0:
print("Erro: N deve ser inteiro positivo.")
return
m = N // 2 # m = floor(N/2)
t = N - m # t = ceil(N/2)
soma_pares = m * (m + 1)
soma_impares = t * t
print("Soma dos pares:", soma_pares)
print("Soma dos ímpares:", soma_impares)
if __name__ == "__main__":
main()