Problema: Dado um número N inteiro e positivo, calcular a soma dos números inteiros pares e a soma dos números inteiros ímpares de 1 até N (intervalo [1,N]).
(a) Escreva o algoritmo (na forma matemática) para resolver esse problema, indicando explicitamente os somatórios ( \Sigma ) envolvidos.
(b) Escreva um programa que resolve o problema, ou seja, o usuário digita um número inteiro positivo qualquer (N) e seja exibido na tela a soma dos números pares e a soma dos números ímpares de 1 até N .

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado:
  • Pede-se calcular duas quantidades a partir de um inteiro positivo dado N:
    1. A soma de todos os números inteiros pares entre 1 e N (inclusive), ou seja, soma dos pares no intervalo [1,N].
    2. A soma de todos os números inteiros ímpares entre 1 e N (inclusive), ou seja, soma dos ímpares no intervalo [1,N].
  • Informação dada: N é um número inteiro e positivo. Não há outras restrições.
  • Objetivo imediato neste passo: ficou claro que devemos devolver duas somas (par e ímpar) para qualquer N\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 2

Contagem de quantos pares e quantos ímpares existem entre 1 e N — passo essencial para montar os somatórios.
  • Números pares entre 1 e N têm a forma 2,4,6,\dots. A quantidade de pares é o número de inteiros k tais que 2k\le N. Portanto definimos
m=\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor,
ou seja, m é o número de termos pares no intervalo [1,N]. Exemplos rápidos: se N=7 então m=\lfloor7/2\rfloor=3 (pares: 2,4,6); se N=8 então m=4 (pares: 2,4,6,8).
  • Números ímpares entre 1 e N têm a forma 1,3,5,\dots. A quantidade de ímpares é
t=N-m=\left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil.
Por exemplo, para N=7 temos t=7-3=4 (ímpares: 1,3,5,7); para N=8 temos t=8-4=4.

Passo 3

Escrever os somatórios com o símbolo \Sigma (parte (a) pede isso explicitamente).
  • Soma dos pares (usando índices k=1,\dots,m):
\text{Soma\_pares}=\sum_{k=1}^{m} 2k.
Aqui cada termo 2k gera a sequência 2,4,6,\dots,2m.
  • Soma dos ímpares (usando índices k=1,\dots,t):
\text{Soma\_ímpares}=\sum_{k=1}^{t} (2k-1).í
Aqui cada termo 2k-1 gera 1,3,5,\dots,2t-1. Note que t=\lceil N/2\rceil garante que 2t-1\le N.

Passo 4

Simplificar os somatórios para fórmulas fechadas (útil na prova e no programa — dá para calcular em tempo constante).
Primeiro um lembrete útil: soma dos primeiros r inteiros positivos tem fórmula conhecida
\sum_{k=1}^{r} k=\frac{r(r+1)}{2}.
Explicação curta desta fórmula (método de emparelhamento): escreva a soma duas vezes
S=1+2+\dots+r,
S=r+(r-1)+\dots+1.
Somando termo a termo você obtém 2S=(r+1)+(r+1)+\dots+(r+1)=r(r+1), então S=\dfrac{r(r+1)}{2}. É um truque clássico e fácil de lembrar.
Agora use esse resultado:
  • Para a soma dos pares:
\text{Soma\_pares}=\sum_{k=1}^{m}2k=2\sum_{k=1}^{m}k=2\cdot\frac{m(m+1)}{2}=m(m+1).
Portanto, em forma fechada,
\boxed{\text{Soma\_pares}=m(m+1)\quad\text{com }m=\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor.}
  • Para a soma dos ímpares:
\text{Soma\_ímpares}=\sum_{k=1}^{t}(2k-1)=2\sum_{k=1}^{t}k-\sum_{k=1}^{t}1=2\cdot\frac{t(t+1)}{2}-t=t^2.í
Portanto,
\boxed{\text{Soma\_ímpares}=t^2\quad\text{com }t=\left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil.}í
Observação alternativa (útil na prova): você também pode calcular a soma dos ímpares subtraindo a soma dos pares da soma total de 1 até N:
\sum_{k=1}^{N}k=\frac{N(N+1)}{2},\qquad \text{Soma\_ímpares}=\frac{N(N+1)}{2}-\text{Soma\_pares}.í
As duas maneiras dão o mesmo resultado porque t^2=\dfrac{N(N+1)}{2}-m(m+1).

Passo 5

Coloquei aqui o algoritmo na forma matemática (passo a passo) solicitado em (a), explícito com \Sigma e também com as fórmulas fechadas:
  • Passos algorítmicos (forma matemática com somatórios):
m=\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor,
t=N-m,
\text{Soma\_pares}=\sum_{k=1}^{m}2k,
\text{Soma\_ímpares}=\sum_{k=1}^{t}(2k-1).í
  • Fórmulas fechadas equivalentes (úteis para calcular sem somar termo a termo):
\text{Soma\_pares}=m(m+1),
\text{Soma\_ímpares}=t^2.í
Isto conclui a resposta matemática pedida em (a).

Passo 6

Programa que resolve o problema (parte (b)). Vou dar um programa em Python simples, direto e verificável. O programa lê N, checa se é positivo e imprime as duas somas usando as fórmulas fechadas (complexidade O(1); não precisa somar elemento a elemento).
Cole e execute este código em um interpretador Python 3:
# Programa em Python para somar pares e ímpares de 1 até N

def main():
    N = int(input("Digite um inteiro positivo N: "))
    if N <= 0:
        print("Erro: N deve ser inteiro positivo.")
        return
    m = N // 2          # m = floor(N/2)
    t = N - m           # t = ceil(N/2)
    soma_pares = m * (m + 1)
    soma_impares = t * t
    print("Soma dos pares:", soma_pares)
    print("Soma dos ímpares:", soma_impares)

if __name__ == "__main__":
    main()
Explicação rápida do programa:
  • N // 2 em Python calcula \lfloor N/2\rfloor.
  • Calculamos m e t como nas fórmulas anteriores.
  • soma_pares = m*(m+1) implementa \text{Soma\_pares}=m(m+1).
  • soma_impares = t*t implementa \text{Soma\_ímpares}=t^2í.
  • O programa imprime as duas somas.

Passo 7

Verificações numéricas (exemplos para fixar a ideia):
  • Exemplo N=7:
    • m=\lfloor7/2\rfloor=3, t=7-3=4.
    • \text{Soma\_pares}=m(m+1)=3\cdot4=12 (confere: 2+4+6=12).
    • \text{Soma\_ímpares}=t^2=4^2=16í (confere: 1+3+5+7=16).
  • Exemplo N=8:
    • m=\lfloor8/2\rfloor=4, t=8-4=4.
    • \text{Soma\_pares}=4\cdot5=20 (confere: 2+4+6+8=20).
    • \text{Soma\_ímpares}=4^2=16í (confere: 1+3+5+7=16).
Esses exemplos ajudam a ganhar confiança — risca o medo: funciona e é rápido.

Passo 8

Dica para a prova: memorize as duas expressões fechadas
\text{Soma\_pares}=\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor\!\left(\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor+1\right), \qquad \text{Soma\_ímpares}=\left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil^2,í
ou calcule a partir de \dfrac{N(N+1)}{2} e subtraia os pares. Em prova, escreva claramente m=\lfloor N/2\rfloor e t=N-m e mostre a simplificação do somatório — isso ganha pontos.

Resposta

(a) \displaystyle \text{Soma\_pares}=\sum_{k=1}^{\lfloor N/2\rfloor}2k=m(m+1) com m=\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor.\n \displaystyle \text{Soma\_ímpares}=\sum_{k=1}^{\lceil N/2\rceil}(2k-1)=t^2í com t=\left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil.
(b)
# Programa em Python para somar pares e ímpares de 1 até N

def main():
    N = int(input("Digite um inteiro positivo N: "))
    if N <= 0:
        print("Erro: N deve ser inteiro positivo.")
        return
    m = N // 2          # m = floor(N/2)
    t = N - m           # t = ceil(N/2)
    soma_pares = m * (m + 1)
    soma_impares = t * t
    print("Soma dos pares:", soma_pares)
    print("Soma dos ímpares:", soma_impares)

if __name__ == "__main__":
    main()

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