Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x) = phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x) = 0 for x_h = c_1 + c_2 * e^t + c_3 * t * e^t.
11.38 * phi(t) = 2 * t^2 - 3 * t + 82

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma solução particular da equação , onde . Sabemos que a solução da equação homogênea associada é . A matéria que estamos lidando aqui é com equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando phi(t) é uma função do tipo polinomial, exponencial, seno, cosseno, ou combinação dessas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a phi(t) é um polinômio de segundo grau: . Quando a função do lado direito da equação diferencial é um polinômio, geralmente tentamos uma solução particular também como um polinômio do mesmo grau. Então, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Aqui, A, B e C são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos substituir na equação diferencial . Mas como não sabemos exatamente qual é , podemos pensar de forma geral. Sabemos que a solução homogênea é , o que indica que a equação diferencial provavelmente é de segunda ordem e com coeficientes constantes.
Para seguir com o processo, consideramos que a derivada de em relação a t será usada na equação diferencial. Calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial. Supondo que a equação diferencial seja da forma:
Substituindo:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Agrupando por potências de t:
  • :
  • t:
  • Termo constante:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de t dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de t:
  1. Termo constante:
Precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B e C. Mas, como não temos os valores de a e b, podemos simplificar considerando que a equação diferencial original provavelmente é da forma (baseado na solução homogênea). Assim, temos e .
Substituindo e nas equações:

Resposta

Então, a solução particular é:

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