Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
21.
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - A função incógnita é
. - Condição inicial:
. - A equação é dada de forma que envolve
, , e no denominador.
Passo 2
Primeiro deixe a equação em forma mais conveniente para resolver. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma equivalente:
Isso já sugere que a equação é separável (ou seja, pode-se escrever termos em
multiplicando
de um lado e termos em
multiplicando
do outro).
Passo 3
Separe as variáveis: coloque todos os fatores que dependem de
em um lado e os que dependem de
no outro. A manipulação é:
Aqui usei que
e multiplique ambos os lados por
para obter a separação.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais com calma.
Esquerda:
Porque
. Integrando termo a termo:
Portanto a integral da esquerda é
Direita:
Para essa integral usamos integração por partes. Lembrando o método: se escolhemos
e
, então
e
. A fórmula é
. Aplicando:
E
. Assim:
Passo 5
Juntando as duas integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos a solução implícita:
Passo 6
Agora aplique a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão implícita:
esquerda: .
direita: . Como
e
, isso vale
.
Igualando:
esquerda:
direita:
Igualando:
Passo 7
Substituindo
de volta, a solução implícita fica
Esta é uma forma perfeitamente válida da solução, expressa implicitamente em
.
Passo 8
Se quiser uma forma explícita
, podemos isolar
usando exponenciação e a função de Lambert
. Vou mostrar o passo a passo:
Defina o lado direito como
:
A equação é
. Exponenciando ambos os lados:
Usando
e
obtemos
Agora elevando ao quadrado:
Faça a mudança
. Então
A função de Lambert
é definida como a inversa de
: se
então
. Aplicando
ao lado direito,
Voltando para
,
Passo 9
Escolhe-se o sinal compatível com a condição inicial. Como
, devemos tomar o sinal positivo e a rama principal
(aqui o argumento é positivo no ponto inicial). Assim a solução explícita é
Pode-se simplificar um pouco o expoente:
portanto