Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
21. \frac{1}{\theta} \frac{d y}{d \theta}=\frac{y \operatorname{sen} \theta}{y^{2}+1}, \quad y(\pi)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{1}{\theta}\frac{dy}{d\theta}=\frac{y\sin\theta}{y^{2}+1},\qquad y(\pi)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(\theta) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é \theta.
  • A função incógnita é y(\theta).
  • Condição inicial: y(\pi)=1.
  • A equação é dada de forma que envolve \theta, y, \sin\theta e \theta no denominador.

Passo 2

Primeiro deixe a equação em forma mais conveniente para resolver. Multiplicando ambos os lados por \theta obtemos uma forma equivalente:
\frac{dy}{d\theta}=\theta\;\frac{y\sin\theta}{y^{2}+1}.
Isso já sugere que a equação é separável (ou seja, pode-se escrever termos em y multiplicando dy de um lado e termos em \theta multiplicando d\theta do outro).

Passo 3

Separe as variáveis: coloque todos os fatores que dependem de y em um lado e os que dependem de \theta no outro. A manipulação é:
\frac{y^{2}+1}{y}\,dy=\theta\sin\theta\,d\theta.
Aqui usei que \dfrac{dy}{d\theta}=\theta\cdot\dfrac{y\sin\theta}{y^{2}+1} e multiplique ambos os lados por \dfrac{y^{2}+1}{y}\,d\theta para obter a separação.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais com calma.
Esquerda:
\int \frac{y^{2}+1}{y}\,dy=\int\left(y+\frac{1}{y}\right)dy.
Porque \dfrac{y^{2}+1}{y}=y+\dfrac{1}{y}. Integrando termo a termo:
\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2},\qquad \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
Portanto a integral da esquerda é
\frac{1}{2}y^{2}+\ln|y|.
Direita:
\int \theta\sin\theta\,d\theta.
Para essa integral usamos integração por partes. Lembrando o método: se escolhemos u=\theta e dv=\sin\theta\,d\theta, então du=d\theta e v=-\cos\theta. A fórmula é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int \theta\sin\theta\,d\theta = -\theta\cos\theta - \int(-\cos\theta)\,d\theta = -\theta\cos\theta + \int \cos\theta\,d\theta.
E \int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta. Assim:
\int \theta\sin\theta\,d\theta = -\theta\cos\theta + \sin\theta.

Passo 5

Juntando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos a solução implícita:
\frac{1}{2}y^{2}+\ln|y| = -\theta\cos\theta + \sin\theta + C.

Passo 6

Agora aplique a condição inicial y(\pi)=1 para determinar C. Substituindo \theta=\pi e y=1 na expressão implícita:
esquerda: \dfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+\ln|1|=\dfrac{1}{2}+0=\dfrac{1}{2}.
direita: -\pi\cos\pi+\sin\pi+C. Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, isso vale -\pi(-1)+0+C=\pi+C.
Igualando:
\frac{1}{2}=\pi+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}-\pi.

Passo 7

Substituindo C de volta, a solução implícita fica
\frac{1}{2}y^{2}+\ln|y| = -\theta\cos\theta + \sin\theta + \frac{1}{2}-\pi.
Esta é uma forma perfeitamente válida da solução, expressa implicitamente em y.

Passo 8

Se quiser uma forma explícita y(\theta), podemos isolar y usando exponenciação e a função de Lambert W. Vou mostrar o passo a passo:
Defina o lado direito como R(\theta):
R(\theta)=-\theta\cos\theta + \sin\theta + \frac{1}{2}-\pi.
A equação é \dfrac{1}{2}y^{2}+\ln|y|=R(\theta). Exponenciando ambos os lados:
\exp\!\left(\frac{1}{2}y^{2}+\ln|y|\right)=e^{R(\theta)}.
Usando \exp(\ln|y|)=|y| e \exp(\tfrac{1}{2}y^{2}) obtemos
|y|\,\exp\!\left(\frac{1}{2}y^{2}\right)=e^{R(\theta)}.
Agora elevando ao quadrado:
y^{2}\exp(y^{2})=e^{2R(\theta)}.
Faça a mudança z=y^{2}. Então
z e^{z}=e^{2R(\theta)}.
A função de Lambert W é definida como a inversa de z\mapsto z e^{z}: se w=W(u) então w e^{w}=u. Aplicando W ao lado direito,
z=W\!\big(e^{2R(\theta)}\big).
Voltando para y,
y(\theta)=\pm\sqrt{\,W\!\big(e^{2R(\theta)}\big)\, }.

Passo 9

Escolhe-se o sinal compatível com a condição inicial. Como y(\pi)=1>0, devemos tomar o sinal positivo e a rama principal W_{0} (aqui o argumento é positivo no ponto inicial). Assim a solução explícita é
y(\theta)=\sqrt{\,W\!\Big(\exp\big(2(-\theta\cos\theta+\sin\theta+\tfrac{1}{2}-\pi)\big)\Big)\, }.
Pode-se simplificar um pouco o expoente:
2\Big(-\theta\cos\theta+\sin\theta+\tfrac{1}{2}-\pi\Big) =-2\theta\cos\theta+2\sin\theta+1-2\pi,
portanto
y(\theta)=\sqrt{\,W\!\Big(\exp\big(-2\theta\cos\theta+2\sin\theta+1-2\pi\big)\Big)\, }.

Resposta

y(\theta)=\sqrt{\,W\!\Big(\exp\big(-2\theta\cos\theta+2\sin\theta+1-2\pi\big)\Big)\, }.