Nos problemas de 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
e
são números reais e
é um inteiro positivo.
32.
32.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas super úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace, especialmente aquelas envolvendo funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a transformada de Laplace de uma função exponencial pura, como
, é dada por:
Essa é uma das propriedades fundamentais das transformadas de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos considerar a parte polinomial da função, que é
. A transformada de Laplace de
é conhecida e é dada por:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os inteiros positivos até
.
Passo 4
Quando temos a função
, estamos lidando com o produto de uma função polinomial e uma função exponencial. Nesse caso, podemos usar a propriedade de deslocamento na frequência das transformadas de Laplace. Essa propriedade nos diz que multiplicar a função no tempo por
corresponde a um deslocamento na variável
na transformada de Laplace.
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência, a transformada de Laplace de
fica:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.