Nos problemas de 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo.
32. t^n e^(a t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função . Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que são ferramentas super úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace, especialmente aquelas envolvendo funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a transformada de Laplace de uma função exponencial pura, como , é dada por:
á
Essa é uma das propriedades fundamentais das transformadas de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos considerar a parte polinomial da função, que é . A transformada de Laplace de é conhecida e é dada por:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os inteiros positivos até .

Passo 4

Quando temos a função , estamos lidando com o produto de uma função polinomial e uma função exponencial. Nesse caso, podemos usar a propriedade de deslocamento na frequência das transformadas de Laplace. Essa propriedade nos diz que multiplicar a função no tempo por corresponde a um deslocamento na variável na transformada de Laplace.

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência, a transformada de Laplace de fica:

Resposta

A transformada de Laplace de é .

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