Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
31 f(x) = (3 x + 1) / (x + 2) (x + 7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para diferenciarmos a função . Vamos usar as regras básicas de diferenciação, especificamente a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função multiplicando outra função. Para isso, precisamos saber derivadas de funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto: se , então a derivada é:

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar , a derivada de . Para isso, usamos a Regra do Quociente:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando na Regra do Quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a derivada de :

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais. Notamos que:
Então, a soma fica:

Passo 8

Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Somando tudo:

Passo 9

Finalmente, a derivada simplificada é:

Resposta

A derivada da função é .

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