Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas, e também a Regra do Produto, já que temos duas funções multiplicadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos duas funções multiplicadas:
Como estamos lidando com o produto de duas funções, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
individualmente usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções que são compostas de outras funções, ou seja, funções dentro de funções.
Passo 4
Começamos derivando
. Aplicando a Regra da Cadeia:
- A derivada externa é a derivada de
, que é . - A derivada interna é a derivada de
, que é .
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Novamente, usando a Regra da Cadeia:
- A derivada externa é a derivada de
, que é . - A derivada interna é a derivada de
, que é .
Portanto,
.
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão fatorando termos comuns. Observamos que
e
são fatores comuns:
Passo 8
Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar o 2 do termo
:
Então,
Resposta
A derivada da função
é: