Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
17 g(y) = (7 y + 3)^-2 (2 y - 1)^4

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas, e também a Regra do Produto, já que temos duas funções multiplicadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos duas funções multiplicadas:
Como estamos lidando com o produto de duas funções, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e individualmente usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções que são compostas de outras funções, ou seja, funções dentro de funções.

Passo 4

Começamos derivando . Aplicando a Regra da Cadeia:
  • A derivada externa é a derivada de , que é .
  • A derivada interna é a derivada de , que é .
Então, .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Novamente, usando a Regra da Cadeia:
  • A derivada externa é a derivada de , que é .
  • A derivada interna é a derivada de , que é .
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão fatorando termos comuns. Observamos que e são fatores comuns:

Passo 8

Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar o 2 do termo :
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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