Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Aqui, estamos trabalhando com
(o plano cartesiano) e temos as operações definidas assim:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para
ser um espaço vetorial, as operações de adição e multiplicação por escalar precisam cumprir 8 axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de forma consistente com a álgebra linear.
Passo 3
Vamos verificar cada axioma um por um. O primeiro é a comutatividade da adição:
Com a definição dada, isso vale porque
e
.
Passo 4
O segundo é a associatividade da adição:
Isso também é válido aqui, já que a soma de números reais é associativa.
Passo 5
O terceiro axioma é a existência do elemento neutro:
Aqui,
funciona como o neutro, pois
e
.
Passo 6
O quarto é a existência do inverso aditivo:
O inverso de
é
, o que satisfaz o axioma.
Passo 7
Agora, vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos testar:
Por outro lado:
Aqui, está tudo certo, funciona.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Calculando:
E:
Comparando,
a menos que
, o que nem sempre é verdade. Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Passo 9
Como um dos axiomas já não está sendo cumprido, já podemos concluir que
com essas operações não é um espaço vetorial. O axioma que não se verifica é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial. O axioma que não se verifica é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.