Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
© R^2,(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
k(x1, y1)=(k^2 x1, k^2 y1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se um conjunto com certas operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Aqui, estamos trabalhando com (o plano cartesiano) e temos as operações definidas assim:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, as operações de adição e multiplicação por escalar precisam cumprir 8 axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de forma consistente com a álgebra linear.

Passo 3

Vamos verificar cada axioma um por um. O primeiro é a comutatividade da adição:
u + v = v + u
Com a definição dada, isso vale porque e .

Passo 4

O segundo é a associatividade da adição:
(u + v) + w = u + (v + w)
Isso também é válido aqui, já que a soma de números reais é associativa.

Passo 5

O terceiro axioma é a existência do elemento neutro:
u + 0 = u
Aqui, funciona como o neutro, pois e .

Passo 6

O quarto é a existência do inverso aditivo:
u + (-u) = 0
O inverso de é , o que satisfaz o axioma.

Passo 7

Agora, vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
k(u + v) = ku + kv
Vamos testar:
k[(x1 + x2, y1 + y2)] = (k^2(x1 + x2), k^2(y1 + y2)) = (k^2x1 + k^2x2, k^2y1 + k^2y2)
Por outro lado:
k(x1, y1) + k(x2, y2) = (k^2x1, k^2y1) + (k^2x2, k^2y2) = (k^2x1 + k^2x2, k^2y1 + k^2y2)
Aqui, está tudo certo, funciona.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(k + m)u = ku + mu
Calculando:
(k + m)(x, y) = ((k + m)^2x, (k + m)^2y)
E:
k(x, y) + m(x, y) = (k^2x, k^2y) + (m^2x, m^2y) = (k^2x + m^2x, k^2y + m^2y)
Comparando, a menos que , o que nem sempre é verdade. Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Passo 9

Como um dos axiomas já não está sendo cumprido, já podemos concluir que com essas operações não é um espaço vetorial. O axioma que não se verifica é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

Resposta

O conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial. O axioma que não se verifica é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

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