[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum 
 , em vez de 
 . Considere o seguinte (P.V.I.)
 
c) Conclua que 
  é solução do (P.V.I.) original.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) com uma equação diferencial do tipo:
E as condições iniciais são dadas em 
 :
O que precisamos fazer é mostrar que a função 
  realmente resolve essa equação diferencial e satisfaz as condições iniciais. Para isso, vamos seguir alguns passos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que 
  seja uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos 
  e suas derivadas na equação 
 , a igualdade deve se manter verdadeira para todo 
 .
Então, vamos calcular as derivadas de 
 :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 3
Agora que temos 
 , vamos substituir 
  e 
  na equação diferencial para ver se ela é satisfeita:
Veja o que aconteceu aqui: os termos 
  e 
  se cancelaram, assim como 
  e 
 . Ficou apenas 
 , que é exatamente o lado direito da equação. Então, 
  satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
O próximo passo é verificar as condições iniciais para garantir que 
  não só resolve a equação diferencial, mas também cumpre os requisitos específicos do problema.
Primeiro, vamos calcular 
 :
Os termos 
  e 
  se cancelam, deixando 
 , que é exatamente o valor dado na condição inicial.
Agora, vamos verificar 
 :
Aqui, 
 , resultando em 
 , que também coincide com a condição inicial fornecida.
Resposta
Portanto, mostramos que 
  não só resolve a equação diferencial 
 , como também cumpre as condições iniciais dadas. Logo, 
  é de fato a solução do P.V.I. original.