Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10 % de itens defeituosos na produção. Periodicamente, sorteia-se uma amostra aleatória de 20 peças e, havendo mais de 15 % defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual é a probabilidade de se interromper o processo para verificação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um procedimento de controle de qualidade que quer garantir que no máximo 10% dos itens produzidos sejam defeituosos. Para monitorar isso, são sorteadas amostras aleatórias de 20 peças regularmente. Se nessa amostra mais de 15% forem defeituosas, a produção é interrompida para verificar o processo. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que isso aconteça, ou seja, de parar a produção para verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Taxa máxima de defeituosos permitida §: 10%, ou seja, 0,10.
  • Tamanho da amostra (n): 20 peças.
  • Limite para interromper a produção: mais de 15% defeituosos na amostra.
Precisamos calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, mais de 15% sejam defeituosas.

Passo 3

Vamos traduzir “mais de 15%” em número de peças. 15% de 20 peças é:
0,15 times 20 = 3
Então, “mais de 15%” significa mais de 3 peças defeituosas. Ou seja, queremos calcular a probabilidade de ter 4 ou mais peças defeituosas na amostra.

Passo 4

Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada quando temos:
  • Um número fixo de tentativas (n = 20).
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (defeituoso) ou fracasso (não defeituoso).
  • As tentativas são independentes.
  • A probabilidade de sucesso é constante (p = 0,10).
A probabilidade de exatamente k peças serem defeituosas é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde binomnk é o coeficiente binomial.

Passo 5

Queremos a probabilidade de ter 4 ou mais peças defeituosas:
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + dots + P(X = 20)
Mas é mais fácil calcular 1 - P(X <= 3), ou seja, subtrair a probabilidade de ter até 3 peças defeituosas da unidade.

Passo 6

Vamos calcular P(X <= 3):
P(X <= 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Calculando cada termo:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = binom200 (0,10)^0 (0,90)^20 = 1 times 1 times 0,90^20 approx 0,1216
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = binom201 (0,10)^1 (0,90)^19 = 20 times 0,10 times 0,90^19 approx 20 times 0,10 times 0,1351 approx 0,2702
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = binom202 (0,10)^2 (0,90)^18 = 190 times 0,01 times 0,1502 approx 190 times 0,001502 approx 0,2854
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = binom203 (0,10)^3 (0,90)^17 = 1140 times 0,001 times 0,1668 approx 1140 times 0,0001668 approx 0,1903

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 3) approx 0,1216 + 0,2702 + 0,2854 + 0,1903 approx 0,8675

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de interromper a produção é:
P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3) approx 1 - 0,8675 = 0,1325

Resposta

A probabilidade de interromper a produção para verificação é de aproximadamente 13,25%.

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