Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de
de itens defeituosos na produção. Periodicamente, sorteia-se uma amostra aleatória de 20 peças e, havendo mais de
defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual é a probabilidade de se interromper o processo para verificação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um procedimento de controle de qualidade que quer garantir que no máximo 10% dos itens produzidos sejam defeituosos. Para monitorar isso, são sorteadas amostras aleatórias de 20 peças regularmente. Se nessa amostra mais de 15% forem defeituosas, a produção é interrompida para verificar o processo. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que isso aconteça, ou seja, de parar a produção para verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Taxa máxima de defeituosos permitida §: 10%, ou seja, 0,10.
- Tamanho da amostra (n): 20 peças.
- Limite para interromper a produção: mais de 15% defeituosos na amostra.
Precisamos calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, mais de 15% sejam defeituosas.
Passo 3
Vamos traduzir “mais de 15%” em número de peças. 15% de 20 peças é:
Então, “mais de 15%” significa mais de 3 peças defeituosas. Ou seja, queremos calcular a probabilidade de ter 4 ou mais peças defeituosas na amostra.
Passo 4
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (n = 20).
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (defeituoso) ou fracasso (não defeituoso).
- As tentativas são independentes.
- A probabilidade de sucesso é constante (p = 0,10).
A probabilidade de exatamente k peças serem defeituosas é dada por:
onde
Passo 5
Queremos a probabilidade de ter 4 ou mais peças defeituosas:
Mas é mais fácil calcular
Passo 6
Vamos calcular
:
Calculando cada termo:
- Para k = 0:
- Para k = 1:
- Para k = 2:
- Para k = 3:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 8
Finalmente, a probabilidade de interromper a produção é:
Resposta
A probabilidade de interromper a produção para verificação é de aproximadamente
.