Um processo químico para extração dos derivados do petróleo exige um controle de temperatura bastante preciso. Para isso tradicionalmente são realizadas medições em 3 pontos diferentes do reservatório onde são realizados os processos químicos.
Para extração da gasolina utilizada em aviões a temperatura do processo varia de -10{ }^{\circ} \mathrm{C} (início do processo) a +10{ }^{\circ} \mathrm{C} (finalização do
processo). O sensor de temperatura utilizado opera com as seguintes especificações.
Faixa de Temperatura Faixa de Tensão
-10{ }^{\circ} \mathrm{Ca}+10 \stackrel{\circ}{\circ} \mathrm{C} 100 mV a 1000 mV
Projete um circuito que calcula a) a média aritmética da temperatura do processo e b) gere um sinal de tensão de saída cujo valor em seja a temperatura em { }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    a) projetar um circuito que calcule a média aritmética da temperatura medida em três pontos;
    b) projetar um circuito que gere um sinal de tensão de saída cujo valor numérico (em volts) represente a temperatura em ^\circ\mathrm{C} (ou seja, se a temperatura for 5\\ ^\circ\mathrm{C}, a tensão de saída deverá ser 5\\ \mathrm{V}; para -7\\ ^\circ\mathrm{C}, -7\\ \mathrm{V}, etc.).
  • Informação do sensor (tirei os dados da tabela do enunciado):
    a faixa de temperatura é -10\\ ^\circ\mathrm{C} a +10\\ ^\circ\mathrm{C} e a faixa de tensão correspondente é 100\\ \mathrm{mV} a 1000\\ \mathrm{mV}. Em notação TeX:
    T_{\min} = -10\\ ^\circ\mathrm{C},\quad T_{\max} = +10\\ ^\circ\mathrm{C},
V_{\min} = 0{,}100\\ \mathrm{V},\quad V_{\max} = 1{,}000\\ \mathrm{V}.
  • Suposições razoáveis (não perguntarei nada, só afirmo o que vou assumir): o sensor tem resposta linear no intervalo dado; usaremos amplificadores operacionais com alimentação dupla adequada (por exemplo \pm 15\\ \mathrm{V}) capazes de entregar as tensões de saída necessárias.

Passo 2

Achar a relação linear entre tensão do sensor V e temperatura T.
  • Como a resposta é linear, escrevemos
    V = a\,T + b,
    onde a é a sensibilidade (V por ^\circ\mathrm{C}) e b é a tensão quando T=0.
  • Usamos os dois pontos dados: para T=-10 vale V=0{,}100 e para T=+10 vale V=1{,}000. A inclinação a é
    a=\frac{V_{\max}-V_{\min}}{T_{\max}-T_{\min}} =\frac{1{,}000-0{,}100}{10-(-10)}=\frac{0{,}900}{20}=0{,}045\\ \mathrm{V/^\circ C}.
  • Para achar b usamos um dos pontos, por exemplo T=-10:
    0{,}100 = 0{,}045\cdot(-10)+b \implies b = 0{,}100 + 0{,}450 = 0{,}550\\ \mathrm{V}.
  • Resultado da relação sensor:
    V = 0{,}045\,T + 0{,}550.

Passo 3

Invertendo a relação para obter T a partir de V (essa fórmula é o alvo do condicionamento).
  • Isolando T:
    T=\frac{V-0{,}550}{0{,}045}.
    Esta é a transformação linear que queremos implementar em eletrônica: uma amplificação (ganho) e uma subtração de offset.
  • Escrevendo na forma V_{\text{out}} = k\cdot V + c para que V_{\text{out}} (em volts) represente a temperatura em ^\circ\mathrm{C}:
    T = \left(\frac{1}{0{,}045}\right)V - \frac{0{,}550}{0{,}045} = 22{,}222\;V - 12{,}222.
    Então, para um circuito que gere diretamente V_{\text{out}}=T (V), precisamos que
    V_{\text{out}} = 22{,}222\,(V_{\text{sensor}}) - 12{,}222.
    Observação prática: é preferível implementar isso como um amplificador diferencial que faça V_{\text{out}} = G\,(V_{\text{sensor}} - V_{\text{ref}}) com G=22{,}222 e V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V}, porque essa forma evita grandes offsets de fonte.

Passo 4

Projeto do circuito que calcula a média aritmética das três medições de temperatura (em tensão sensor).
  • O objetivo elétrico: obter a tensão média dos três sensores
    \overline{V}=\frac{V_1+V_2+V_3}{3}.
  • Método prático e robusto (duas etapas com amplificadores operacionais):
    1. Primeira etapa: somador inversor que faz V_{soma} = -\frac{1}{3}(V_1+V_2+V_3).
      Usando um somador inversor com resistores iguais na entrada e um resistor de realimentação ajustado, escolhemos por exemplo: R_{in1}=R_{in2}=R_{in3}=30\\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_{f1}=10\\ \mathrm{k\Omega}.Para o somador inversor vale V_{soma} = -R_{f1}\left(\frac{V_1}{R_{in1}}+\frac{V_2}{R_{in2}}+\frac{V_3}{R_{in3}}\right) = -\frac{10}{30}(V_1+V_2+V_3) = -\frac{1}{3}(V_1+V_2+V_3).
    2. Segunda etapa: inversor unitário para reverter o sinal sem alterar a escala, obtendo a média positiva. Escolhemos por exemplo: R_{in4}=R_{f2}=10\\ \mathrm{k\Omega}.Assim o segundo estágio faz \overline{V} = -\left(-\frac{1}{3}(V_1+V_2+V_3)\right)=\frac{V_1+V_2+V_3}{3}.
  • Observações didáticas: poderia também usar uma rede passiva de três resistores iguais para formar a média e então um buffer seguidor (um único op amp). Isso funciona se os sensores podem ser diretamente ligados por resistores ao nó de média (o buffer deve ter alta impedância de entrada). A abordagem com somador/inversor+inversor dá controle preciso dos ganhos por resistores e é robusta a impedâncias diversas.

Passo 5

Projeto do estágio que converte a média de tensão \overline{V} em tensão igual à temperatura (V_out = T).
  • Já temos a fórmula desejada (do Passo 3):
    V_{\text{out}} = T = 22{,}222\,\overline{V} - 12{,}222.
    Implementamos isso como um amplificador diferencial (ou “subtrator” com ganho) com:
    V_{\text{out}} = G\cdot(\overline{V}-V_{\text{ref}}),
    onde escolhemos G=22{,}222 e V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V}. Então:
    V_{\text{out}} = 22{,}222\;(\overline{V}-0{,}550).
    Expansão: 22{,}222\cdot\overline{V}-22{,}222\cdot0{,}550=22{,}222\overline{V}-12{,}222, que é exatamente o que queremos.
  • Como escolher resistores para o amplificador diferencial padrão (topologia com quatro resistores, dois pares iguais):
    • No amplificador diferencial padrão vale V_{\text{out}} = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2-V_1)se os resistores estiverem pareados ( R_1 nos dois ramos de entrada e R_2 nos dois ramos de realimentação).
    • Para obter \frac{R_2}{R_1}=22{,}222 podemos escolher, por exemplo, R_1 = 4{,}5\\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_2 = 100\\ \mathrm{k\Omega}.(essas escolhas dão a razão exata 100/4{,}5=22{,}222.) Então use dois resistores R_1=4{,}5\\ \mathrm{k\Omega} (um em cada entrada) e dois resistores R_2=100\\ \mathrm{k\Omega} (um em cada realimentação).
    • Ligue V_2 à média \overline{V} e V_1 a V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} (o terminal subtraído). Assim: V_{\text{out}} = \frac{100\\ \mathrm{k\Omega}}{4{,}5\\ \mathrm{k\Omega}}\;(\overline{V}-0{,}550)=22{,}222(\overline{V}-0{,}550).

Passo 6

Geração da referência V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} e alimentação dos op‑amps.
  • V_{\text{ref}} deve ser estável: use um divisor resistivo a partir da fonte positiva seguido por um seguidor (buffer) com um op amp para isolar a referência (ou use uma referência de precisão de 0{,}55\\ \mathrm{V}). Um exemplo prático: fazer um divisor com R_a e R_b tal que
    0{,}550 = V_{+}\cdot\frac{R_b}{R_a+R_b},
    onde V_{+} é a tensão de alimentação (por exemplo +15\\ \mathrm{V}). Depois bufferize com um op amp em seguidor.
  • Alimentação dos op amps: como o sinal de saída final varia de -10\\ \mathrm{V} a +10\\ \mathrm{V} (para temperaturas -10\\ ^\circ\mathrm{C} a +10\\ ^\circ\mathrm{C}), use alimentação simétrica por exemplo \pm 15\\ \mathrm{V} e op amps que funcionem confortavelmente nesse range (não usar um op amp que não consiga dar saída próxima a \pm 10\\ \mathrm{V}).

Passo 7

Verificações numéricas rápidas (confirmação do projeto):
  • Se todos os três sensores medirem -10\\ ^\circ\mathrm{C}: cada V_i=0{,}100\\ \mathrm{V}. Então
    \overline{V}=\frac{0{,}100+0{,}100+0{,}100}{3}=0{,}100\\ \mathrm{V}.
    Aplicando o estágio final:
    V_{\text{out}}=22{,}222(0{,}100-0{,}550)=22{,}222(-0{,}450)=-10{,}000\\ \mathrm{V},
    que representa exatamente -10\\ ^\circ\mathrm{C} (ou seja, -10\\ \mathrm{V}).
  • Se todos os três sensores medirem +10\\ ^\circ\mathrm{C}: cada V_i=1{,}000\\ \mathrm{V}. Então
    \overline{V}=1{,}000\\ \mathrm{V},\qquad V_{\text{out}}=22{,}222(1{,}000-0{,}550)=22{,}222(0{,}450)=+10{,}000\\ \mathrm{V}.
    Ou seja, +10\\ ^\circ\mathrm{C} é representado por +10\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Resumo prático de componentes e ligações (passo‑a‑passo de montagem):
  • Estágio A (média): somador inversor com R_{in1}=R_{in2}=R_{in3}=30\\ \mathrm{k\Omega}, R_{f1}=10\\ \mathrm{k\Omega} ; seguido de inversor unitário com R_{in4}=R_{f2}=10\\ \mathrm{k\Omega}. Saída desse estágio é \overline{V}=(V_1+V_2+V_3)/3.
  • Estágio B (condicionamento para V_{\text{out}}=T em volts): amplificador diferencial com \dfrac{R_2}{R_1}=22{,}222. Por exemplo R_1=4{,}5\\ \mathrm{k\Omega} (dois), R_2=100\\ \mathrm{k\Omega} (dois). Ligue a entrada não invertente do diff amp a \overline{V} e a entrada invertente a V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} bufferizada.
  • Gere V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} com divisor + buffer ou referência dedicada.
  • Use alimentação simétrica para os op amps, por exemplo \pm 15\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) Circuito para média: calcular \displaystyle \overline{V}=\frac{V_1+V_2+V_3}{3} implementado por somador inversor com R_{in1}=R_{in2}=R_{in3}=30\\ \mathrm{k\Omega}, R_{f1}=10\\ \mathrm{k\Omega} (produz V_{soma}=-\tfrac{1}{3}(V_1+V_2+V_3)) seguido de inversor unitário com R_{in4}=R_{f2}=10\\ \mathrm{k\Omega} para obter \overline{V}.
(b) Circuito que gera tensão igual à temperatura: usar estágio diferencial com ganho G=22{,}222 e referência V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} de modo que
V_{\text{out}}=22{,}222\;(\overline{V}-0{,}550)=\frac{\overline{V}-0{,}550}{0{,}045}=T\\ (\mathrm{V}=^\circ\mathrm{C}).
Exemplo de resistores para o diff amp: R_1=4{,}5\\ \mathrm{k\Omega} (dois) e R_2=100\\ \mathrm{k\Omega} (dois); gere V_{\text{ref}}=0{,}550\\ \mathrm{V} por divisor+buffer; alimente os op amps em \pm 15\\ \mathrm{V}.

Exercícios relacionados