Na produção de açúcar refinado, um moinho consome 4,5 \mathrm{~kW} para reduzir cristais de açúcar (os quais 80 \% passam através de um peneira n^{\circ} 30, ou seja, de 600 \mu \mathrm{~m} de abertura) para açúcar refinado, de modo que 80 \% passam através de uma peneira n^{\circ} 200 de abertura de 75 \mu \mathrm{~m}.
(i) Calcular o consumo energético (kW) para o mesmo produto final e vazāo de processo, porém, com granulometria mais grossa, ou seja, 80 \% passando através de uma peneira de \mathrm{n}^{\circ} 120 (abertura de 125 \mu \mathrm{~m} ). Considere a equação de Bond.
(ii) Considerando a granulometria do item anterior, em quanto seria possível aumentar a produção (\%), caso o consumo de energia continuasse 4,5 \mathrm{~kW} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Consumo conhecido: \,4,5\\ \mathrm{kW} para um moinho que recebe material com 80\% passando na peneira \#30 (abertura 600\\ \mu\mathrm{m}) e entrega produto com 80\% passando na peneira \#200 (abertura 75\\ \mu\mathrm{m}).
  • Queremos repetir o mesmo produto final e a mesma vazão do processo, mas com granulometria mais grossa: produto com 80\% passando em peneira \#120 (abertura 125\\ \mu\mathrm{m}).
  • Perguntas:
    (i) Calcular o consumo energético (em \mathrm{kW}) necessário para obter esse produto mais grosso mantendo a mesma vazão.
    (ii) Com essa granulometria mais grossa, supondo que o moinho continue fornecendo \,4,5\\ \mathrm{kW}, qual seria o aumento percentual da produção?

Passo 2

Apresentação e justificativa da equação de Bond (a “aula rápida” necessária).
A equação de Bond para trabalho específico de fragmentação (em unidades de energia por massa) pode ser escrita como
E = W_i\left(\dfrac{1}{\sqrt{P_{80}}}-\dfrac{1}{\sqrt{F_{80}}}\right),
onde:
  • E é o trabalho específico (tipicamente em \mathrm{kWh/ton});
  • W_i é o Bond work index do material (característica do material, em \mathrm{kWh/ton});
  • P_{80} é a abertura correspondente a 80\% passando no produto (em \mu\mathrm{m});
  • F_{80} é a abertura correspondente a 80\% passando no alimento (feed) (em \mu\mathrm{m}).
Explicação intuitiva: a lei de Bond diz que a energia necessária para reduzir um material de um tamanho característico F_{80} para um tamanho P_{80} é proporcional à diferença entre 1/\sqrt{P_{80}} e 1/\sqrt{F_{80}}. O parâmetro W_i depende só do material (açúcar, aqui), não do grau de redução desejado.
Importante para o nosso problema: o moinho já entrega \,4,5\\ \mathrm{kW} para uma certa vazão quando faz a redução de F_{80}=600\\ \mu\mathrm{m} para P_{80}=75\\ \mu\mathrm{m}. Como W_i e a vazão de massa são os mesmos nos dois cenários considerados, a potência requerida é proporcional ao termo \left(\dfrac{1}{\sqrt{P_{80}}}-\dfrac{1}{\sqrt{F_{80}}}\right). Assim podemos obter a nova potência por uma regra de três usando esses termos, sem precisar do valor numérico de W_i.

Passo 3

Calcular o termo da equação de Bond para o caso original (produto fino).
Dados usados (do enunciado):
\,F_{80}=600\\ \mu\mathrm{m} e \,P_{80,\text{fino}}=75\\ \mu\mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
Primeiro as raízes quadradas:
\sqrt{75}=8,660254\quad\text{e}\quad \sqrt{600}=24,494897.
Agora os recíprocos:
\dfrac{1}{\sqrt{75}}=0,115470\quad\text{e}\quad \dfrac{1}{\sqrt{600}}=0,040825.
Então o termo de Bond para o caso original é
S_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{75}}-\dfrac{1}{\sqrt{600}}=0,115470-0,040825=0,074645.

Passo 4

Calcular o termo da equação de Bond para o caso com produto mais grosso.
Dados usados (do enunciado):
\,F_{80}=600\\ \mu\mathrm{m} (mesmo alimento) e \,P_{80,\text{grosso}}=125\\ \mu\mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
Primeiro a raiz quadrada:
\sqrt{125}=11,180340.
Recíproco:
\dfrac{1}{\sqrt{125}}=0,089443.
Usando novamente \dfrac{1}{\sqrt{600}}=0,040825 (valor do passo anterior), o termo de Bond para o produto mais grosso é
S_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{125}}-\dfrac{1}{\sqrt{600}}=0,089443-0,040825=0,048618.

Passo 5

Calcular a potência necessária para o produto mais grosso usando proporcionalidade.
Relação de proporcionalidade (mesmo W_i e mesma vazão de massa):
\dfrac{E_{2}}{E_{1}}=\dfrac{S_{2}}{S_{1}}.
Sabendo que E_{1}=4,5\\ \mathrm{kW}, temos
E_{2}=E_{1}\cdot\dfrac{S_{2}}{S_{1}}=4,5\cdot\dfrac{0,048618}{0,074645}.
Calculemos a razão:
\dfrac{0,048618}{0,074645}\approx0,651495.
Portanto
E_{2}\approx4,5\cdot0,651495\approx2,9317\\ \mathrm{kW}.
Arredondando com sentido prático: \,E_{2}\approx2,93\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Calcular o aumento percentual de produção se a potência ficar fixa em 4,5\\ \mathrm{kW}.
Raciocínio: a produção (vazão de massa) é proporcional à potência disponível dividida pelo trabalho específico por massa. Como o trabalho específico para o produto grosso é menor, mantendo a mesma potência a vazão aumenta na razão inversa da energia específica. Assim o fator de aumento de produção é
\text{fator}=\dfrac{E_{1}}{E_{2}}=\dfrac{4,5}{2,9317}\approx1,5349.
O aumento percentual é
(\text{fator}-1)\times100\%=(1,5349-1)\times100\%\approx53,49\%.
Arredondando: aumento de produção aproximado de 53,5\%.

Resposta

E_{2}\approx2,93\\ \mathrm{kW}\n
Aumento da produção \approx53,5\%

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