• Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a 3,0 kgm^2 quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para 2,2 kgm^2 quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a uma distância final de 0,20 m do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
    (a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
    (b) As energias cinéticas inicial e final do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que trata de rotação e momento de inércia. O professor está girando na mesa com halteres nas mãos, e ele aproxima os halteres do corpo. Precisamos descobrir como isso afeta a velocidade angular dele e também calcular as energias cinéticas inicial e final do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma grandeza que mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

O momento de inércia total do sistema inicial (professor mais halteres) é a soma do momento de inércia do professor com os halteres quando estão a 1,0 m do eixo. Como os halteres são considerados partículas, o momento de inércia de cada um é Iinicial = Iprofessor, inicial + 2 times m rinicial^2 .
Então:
Iinicial = 3,0, kgm^2 + 2 times 5,0, kg times (1,0, m)^2
Iinicial = 3,0 + 10,0 = 13,0, kgm^2

Passo 4

Quando o professor aproxima os halteres do corpo, a distância dos halteres em relação ao eixo diminui para 0,20 m. Então, o novo momento de inércia dos halteres é:
Iha
Iha
Como são dois halteres:
Iha

Passo 5

O momento de inércia final do professor com os halteres próximos é:
Ifinal = Iprofessor, final + Iha
Ifinal = 2,2, kgm^2 + 0,40, kgm^2 = 2,6, kgm^2

Passo 6

Para encontrar a nova velocidade angular, usamos a conservação do momento angular, que diz que o momento angular inicial é igual ao momento angular final quando não há torque externo.
Iinicial times omegainicial = Ifinal times omegafinal
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular inicial. Sabemos que ele completa uma volta em 2,0 s, então:
omegainicial = 2piT = 2pi2,0, s = pi, rad/s
Agora, isolando omegafinal = Iinicial times omegainicialIfinal :
omegafinal = 13,0, kgm^2 times pi, rad/s2,6, kgm^2
omegafinal = 13pi2,6 approx 5pi, rad/s

Passo 7

Agora, para calcular as energias cinéticas inicial e final, usamos a fórmula da energia cinética de rotação:
Ecinética = 12 I omega^2 é
Calculando a energia inicial:
Einicial = 12 times 13,0, kgm^2 times (pi)^2
Einicial = 12 times 13 times pi^2
Einicial approx 6,5 times 9,87 approx 64,16, J
Calculando a energia final:
Efinal = 12 times 2,6, kgm^2 times (5pi)^2
Efinal = 12 times 2,6 times 25pi^2
Efinal = 1,3 times 25 times pi^2
Efinal approx 32,5 times 9,87 approx 320,78, J

Resposta

(a) A nova velocidade angular do professor é aproximadamente .
(b) As energias cinéticas são aproximadamente inicialmente e finalmente.

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