- Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de
em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a
quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para
quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de
do eixo e a uma distância final de
do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
(b) As energias cinéticas inicial e final do sistema.
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
(b) As energias cinéticas inicial e final do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que trata de rotação e momento de inércia. O professor está girando na mesa com halteres nas mãos, e ele aproxima os halteres do corpo. Precisamos descobrir como isso afeta a velocidade angular dele e também calcular as energias cinéticas inicial e final do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma grandeza que mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
O momento de inércia total do sistema inicial (professor mais halteres) é a soma do momento de inércia do professor com os halteres quando estão a 1,0 m do eixo. Como os halteres são considerados partículas, o momento de inércia de cada um é
.
Então:
Passo 4
Quando o professor aproxima os halteres do corpo, a distância dos halteres em relação ao eixo diminui para 0,20 m. Então, o novo momento de inércia dos halteres é:
Como são dois halteres:
Passo 5
O momento de inércia final do professor com os halteres próximos é:
Passo 6
Para encontrar a nova velocidade angular, usamos a conservação do momento angular, que diz que o momento angular inicial é igual ao momento angular final quando não há torque externo.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular inicial. Sabemos que ele completa uma volta em 2,0 s, então:
Agora, isolando
:
Passo 7
Agora, para calcular as energias cinéticas inicial e final, usamos a fórmula da energia cinética de rotação:
Calculando a energia inicial:
Calculando a energia final:
Resposta
(a) A nova velocidade angular do professor é aproximadamente
.
(b) As energias cinéticas são aproximadamente
inicialmente e
finalmente.