programa {
inclua biblioteca Matematica --> m
funcao inicio() {
inteiro i, n
real soma=0
faca{
escreva("Digite um número maior que zero: “)
leia (n)
}enquanto(n<=0)
para (i=1; i<=n; i++){
soma = soma + (1/(i+1))
}
escreva(”\nSoma = ", m.arredondar(soma, 4))
}
}

Passo 1

O enunciado nos deu um programa em pseudocódigo. O que o programa pede e quais informações ele fornece:
  • Pede ao usuário um número inteiro n maior que zero (o programa repete a leitura enquanto n\le 0).
  • Inicializa uma variável real soma=0.
  • Executa um laço para i variando de 1 até n (inclusive), e em cada iteração faz soma = soma + \dfrac{1}{i+1}.
  • Ao final imprime soma arredondado com 4 casas decimais usando a função m.arredondar(soma,4).
    As perguntas implícitas que vamos responder: (1) o que esse programa calcula em termos matemáticos (uma expressão fechada da soma), (2) como calcular esse valor manualmente em exemplos pequenos e (3) como funciona o arredondamento a 4 casas decimais.

Passo 2

Interpretando o laço e escrevendo a soma de forma matemática:
  • O laço faz a soma dos termos \dfrac{1}{i+1} para i=1,2,\dots,n.
  • Escrevemos isso como uma soma finita:
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}.
  • Reindexando (fazendo k=i+1, então quando i=1 temos k=2 e quando i=n temos k=n+1), obtemos a forma equivalente
\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}.
Explicação didática: reindexar é só mudar o nome do índice para visualizar melhor a soma; aqui mostra que estamos somando os recíprocos desde 1/2 até 1/(n+1).

Passo 3

Relacionando com números harmônicos (conceito e definição):
  • Definimos o m-ésimo número harmônico como
H_m = \sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}.
  • Isso significa que H_{n+1} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n+1}.
  • Se subtrairmos \dfrac{1}{1}=1 de H_{n+1}, ficamos com exatamente os termos 1/2 até 1/(n+1). Logo:
\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} = H_{n+1} - 1.
Didática: pensar em H_m é útil porque compacta somas de recíprocos; o programa soma recíprocos que começam em 1/2, então é H_{n+1} menos o primeiro termo 1.

Passo 4

Conclusão matemática do que o programa calcula:
  • Portanto, a variável soma após o laço vale
soma = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1} = \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} = H_{n+1} - 1,
para qualquer inteiro n\ge 1.
  • Observação prática: para n=1 o programa soma apenas \dfrac{1}{2}; para n=2 soma \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}, e assim por diante.

Passo 5

Como calcular à mão para valores pequenos de n (exemplos passo a passo):
  • Exemplo n=1:
soma = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = 0,5.
  • Exemplo n=3:
soma = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}.
Calcule termo a termo:
\frac{1}{2} = 0,5,\quad \frac{1}{3}\approx 0,3333\ldots,\quad \frac{1}{4} = 0,25.
Somando com cuidado (somar frações exatas também é opção):
0,5 + 0,3333\ldots + 0,25 \approx 1,0833\ldots
Ou com frações:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6+4+3}{12}=\frac{13}{12}\approx 1,0833\ldots
Didática: para a prova, se puder, some frações reduzidas para obter resultado exato; caso contrário, faça soma decimal com boa precisão.

Passo 6

Arredondamento a 4 casas decimais (como o programa imprime):
  • O programa usa m.arredondar(soma,4), que significa que o número final será arredondado para 4 casas decimais (quatro dígitos após a vírgula).
  • Regra de arredondamento usual: observe a quinta casa; se for \ge 5 arredonda a quarta casa para cima, caso contrário mantém.
  • Exemplo (usando n=3 do passo anterior): soma=\dfrac{13}{12}\approx 1,083333\ldots. Arredondando para 4 casas decimais dá 1,0833 (pois a quinta casa é 3).

Passo 7

Complexidade e observações práticas para prova:
  • Se você tiver que justificar tempo de execução: o programa faz n iterações, cada uma com uma operação de soma; complexidade O(n).
  • Se a prova pedir fórmula fechada, use H_{n+1}-1. Se pedir valor numérico, calcule somando frações ou somando em ponto flutuante e depois arredonde.
  • Atenção: não existe uma fórmula elementar simples para H_{n+1} em termos de funções elementares; às vezes usamos aproximação assintótica H_m \approx \ln(m) + \gamma, onde \gamma é a constante de Euler-Mascheroni, mas isso é só para aproximações quando n é grande. Para a prova, o exato H_{n+1}-1 é a resposta correta.

Resposta

\displaystyle soma=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}=H_{n+1}-1

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