1. Um projéctil de massa 12,0 \mathrm{~g} é disparado horizontalmente sobre um bloco de madeira de massa 2,0 \mathrm{~kg}, suspenso por dois fios de massas desprezáveis e inextensiveis que se encontrava em repouso. Após a colisão, o projéctil fica incrustado no bloco e o conjunto sobe uma altura máxima de 10,4 \mathrm{~cm} acima da posição de equilibrio. Considerando a resistência do ar desprezável e a colisão é instantânea, determine a velocidade com que o projéctil atinge o bloco. R.: v=2,4 \times 10^{2} \mathrm{~m} / s. .

Passo 1

O enunciado nos dá uma bala de massa m = 12{,}0\mathrm{\,g} = 0{,}012\mathrm{\,kg} e um bloco de massa M = 2{,}0\mathrm{\,kg}, inicialmente em repouso. A bala é disparada horizontalmente, fica incrustada no bloco e o conjunto sobe até uma altura h = 10{,}4\mathrm{\,cm} = 0{,}104\mathrm{\,m} acima da posição de equilíbrio. Desprezando resistência do ar e considerando a colisão instantânea, vamos usar conservação do momento linear na colisão inelástica e conservação de energia mecânica após a colisão.

Passo 2

Na colisão perfeitamente inelástica, o momento linear se conserva. Seja v a velocidade da bala antes do choque e v' a velocidade do conjunto imediatamente após o choque. Então
m\,v = (M + m)\,v'
e daí
v' = \frac{m}{M + m}\,v.

Passo 3

Depois da colisão, toda a energia cinética do conjunto se converte em energia potencial gravitacional ao subir até a altura h. Assim,
\frac{1}{2}\,(M + m)\,{v'}^{2} = (M + m)\,g\,h.
Cancelando o fator (M + m), obtemos
\frac{1}{2}{v'}^{2} = g\,h \quad\Longrightarrow\quad v' = \sqrt{2\,g\,h}.

Passo 4

Igualando as duas expressões para v' dos passos anteriores, temos
\frac{m}{M + m}\,v = \sqrt{2\,g\,h} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{M + m}{m}\,\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
M + m = 2{,}0 + 0{,}012 = 2{,}012\mathrm{\,kg},\quad g = 9{,}81\mathrm{\,m/s^{2}},\quad h = 0{,}104\mathrm{\,m},
v = \frac{2{,}012}{0{,}012}\,\sqrt{2 \times 9{,}81 \times 0{,}104} \approx 167{,}67 \times 1{,}428 \approx 240\mathrm{\,m/s}.

Resposta

v = 2{,}4 \times 10^{2}\mathrm{\,m/s}

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