Se um projétil é lançado diretamente para cima de uma altura de s metros acima do solo, com uma velocidade v \mathrm{~m} / \mathrm{s}, prove que, se a resistência do ar é desprezada, sua distância s(t) do solo apos t segundos é dada por s(t)=\frac{1}{2} g t^{2}+v_{0} t+s_{0}, onde g é uma constante gravitacional.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento vertical de um projétil a partir de uma altura inicial s_{0} com velocidade inicial v_{0}, desprezando a resistência do ar. O conteúdo envolvido é cinemática com aceleração constante (gravidade). Para resolver, vamos usar a definição de aceleração como segunda derivada da posição e integrar, aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton e considerando a gravidade como aceleração constante, chamamos essa constante de g. Escolhendo o sentido positivo para baixo, a equação do movimento é
s''(t)=g.

Passo 3

Integrando uma vez em relação a t, obtemos a velocidade s'(t):
s'(t)=\int s''(t)\,dt=\int g\,dt=gt+C_{1}.
Como a velocidade inicial é v_{0}, temos s'(0)=v_{0}. Logo,
v_{0}=g\cdot 0 + C_{1}\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=v_{0}.

Passo 4

Integramos novamente para achar a posição s(t):
s(t)=\int s'(t)\,dt=\int\bigl(gt+v_{0}\bigr)\,dt =\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+C_{2}.
Como a altura inicial é s_{0}, temos s(0)=s_{0}. Portanto,
s_{0}=\tfrac{1}{2}g\cdot 0^{2}+v_{0}\cdot 0 + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=s_{0}.

Resposta

s(t)=\frac{1}{2}g\,t^{2}+v_{0}t+s_{0}.

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