Um projeto de um gaseoduto para distribuição de gás natural prevê a utilização de um compressores centrífugos de alta potência. O diâmetro do gaseoduto mede
. Na entrada de cada compressor, a temperatura do gás mede 300 K , a pressão 105 kPa e a velocidade
. O processo de compressão é isoentrópico e a pressão de saída deve ser 700 kPa . Suponha que o gás é o metano, considerado como gás ideal com
e
. Determine a temperatura de saída.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre compressão de gás em um gaseoduto usando compressores centrífugos. O diâmetro do tubo é de 0,2 metros. Na entrada do compressor, o metano (considerado gás ideal) está a 300 K, 105 kPa de pressão e com uma velocidade de 4 m/s. O processo de compressão é isoentrópico, ou seja, sem troca de calor e reversível, e a pressão de saída deve ser 700 kPa. A gente precisa descobrir qual será a temperatura do gás na saída do compressor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como a relação entre pressão e temperatura em processos adiabáticos, além de considerar a energia cinética do gás.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a capacidade calorífica a pressão constante, $ C_p $, do metano. Sabemos que:
Onde:
- $ \gamma = 1,32 $ é o índice adiabático,
- $ R = 0,52 \ \mathrm{kJ/(kg \cdot K)} $ é a constante dos gases para o metano.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de energia para um processo estacionário (steady-flow) sem transferência de calor (adiabático). A equação fica assim:
Como o processo é isoentrópico e o gás é ideal, podemos substituir a entalpia $ h $ por $ C_p T $:
Passo 4
Assumindo que a velocidade na saída do compressor ($ V_2 $) é negligível em comparação com a entrada, simplificamos a equação para:
Então, isolando $ T_2 $:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
Primeiro, precisamos converter as unidades para que estejam compatíveis. Como $ R $ está em kJ, vamos converter $ V_1 $ para m²/s²:
Convertendo kJ para J:
Então:
Passo 6
Agora, somamos esse valor à temperatura inicial:
Como a variação é muito pequena, podemos arredondar:
Resposta
A temperatura de saída do gás é aproximadamente $ 300,00 \ \mathrm{K} $.