Um projeto de um gaseoduto para distribuição de gás natural prevê a utilização de um compressores centrífugos de alta potência. O diâmetro do gaseoduto mede 0,2 m. Na entrada de cada compressor, a temperatura do gás mede 300 K , a pressão 105 kPa e a velocidade 4 m / s. O processo de compressão é isoentrópico e a pressão de saída deve ser 700 kPa . Suponha que o gás é o metano, considerado como gás ideal com gamma=1,32 e R=0,52 kJ / kg K. Determine a temperatura de saída.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre compressão de gás em um gaseoduto usando compressores centrífugos. O diâmetro do tubo é de 0,2 metros. Na entrada do compressor, o metano (considerado gás ideal) está a 300 K, 105 kPa de pressão e com uma velocidade de 4 m/s. O processo de compressão é isoentrópico, ou seja, sem troca de calor e reversível, e a pressão de saída deve ser 700 kPa. A gente precisa descobrir qual será a temperatura do gás na saída do compressor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como a relação entre pressão e temperatura em processos adiabáticos, além de considerar a energia cinética do gás.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacidade calorífica a pressão constante, $ C_p $, do metano. Sabemos que:
Cp
Onde:
  • $ \gamma = 1,32 $ é o índice adiabático,
  • $ R = 0,52 \ \mathrm{kJ/(kg \cdot K)} $ é a constante dos gases para o metano.
Substituindo os valores:
Cp = gamma Rgamma - 1

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de energia para um processo estacionário (steady-flow) sem transferência de calor (adiabático). A equação fica assim:
h2 + V2^22 = h1 + V1^22
Como o processo é isoentrópico e o gás é ideal, podemos substituir a entalpia $ h $ por $ C_p T $:
h

Passo 4

Assumindo que a velocidade na saída do compressor ($ V_2 $) é negligível em comparação com a entrada, simplificamos a equação para:
V2
Então, isolando $ T_2 $:
Cp T2 = Cp T1 + V1^22

Passo 5

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
T2 = 300 K + (4 m/s)^22 times 2,146 kJ/(kg cdot K)
Primeiro, precisamos converter as unidades para que estejam compatíveis. Como $ R $ está em kJ, vamos converter $ V_1 $ para m²/s²:
R
Convertendo kJ para J:
V1
Então:
V1^22 Cp = 16 m^2/s^24,292 kJ/(kg cdot K)

Passo 6

Agora, somamos esse valor à temperatura inicial:
T2 = 300 K + 0,00373 K approx 300,00373 K
Como a variação é muito pequena, podemos arredondar:
T2 approx 300,00 K

Resposta

A temperatura de saída do gás é aproximadamente $ 300,00 \ \mathrm{K} $.

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