O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador exige o uso de um eixo oco com diâmetro interno e externo de 4 pol e 6 pol., respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 12 ksi , determine o torque máximo que pode ser transmitido
(a) pelo eixo como projetado,

Passo 1

O enunciado pede: determinar o torque máximo que o eixo oco pode transmitir, sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é \,12\\ \text{ksi}\, e que o eixo tem diâmetro externo \,6\\ \text{pol.}\, e diâmetro interno \,4\\ \text{pol.}\,.
Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro externo: \,d_o = 6\\ \text{in}.
  • Diâmetro interno: \,d_i = 4\\ \text{in}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \,\tau_{\text{adm}} = 12\\ \text{ksi} = 12{,}000\\ \text{psi}.
O que eu preciso achar: o torque máximo \,T_{\max}\, que leva a tensão de cisalhamento no ponto mais crítico (superfície externa) igual a \tau_{\text{adm}}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que usaremos.
Para um eixo circular sujeito a torção, a tensão de cisalhamento a uma distância radial \,r\, do eixo é dada por
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \,\tau(r)\, é a tensão de cisalhamento à distância radial \,r\,,
  • \,T\, é o torque aplicado,
  • \,J\, é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de J ou I_p).
A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície externa, ou seja em \,r=c_o onde \,c_o é o raio externo. Assim
\tau_{\max}=\frac{T\,c_o}{J}.
Reorganizando para o torque máximo admissível:
T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c_o}.
Agora precisamos da expressão de \,J\, para uma seção circular oca. Em termos dos raios externos e internos,
J=\frac{\pi}{2}\bigl(c_o^{4}-c_i^{4}\bigr),
onde \,c_o=\dfrac{d_o}{2} e \,c_i=\dfrac{d_i}{2}. (Equivalente à forma J=\dfrac{\pi}{32}\,(d_o^{4}-d_i^{4}).)

Passo 3

Calcular os raios e o momento polar \,J.
Raio externo:
c_o=\frac{d_o}{2}=\frac{6}{2}=3\\ \text{in}.
Raio interno:
c_i=\frac{d_i}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \text{in}.
Agora \,J=\dfrac{\pi}{2}\bigl(c_o^{4}-c_i^{4}\bigr). Calcular os quartas potências:
c_o^{4}=3^{4}=81,\qquad c_i^{4}=2^{4}=16.
Logo
J=\frac{\pi}{2}\bigl(81-16\bigr)=\frac{\pi}{2}\cdot65=32{,}5\pi\\ \text{in}^{4}.
Valor numérico aproximado:
J\approx 32{,}5\cdot 3{,}14159265 \approx 102{,}101\\ \text{in}^{4}.

Passo 4

Calcular o torque máximo usando \,T_{\max}=\dfrac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c_o}.
Substituindo:
\tau_{\text{adm}}=12{,}000\\ \text{psi},\quad J=32{,}5\pi\\ \text{in}^{4},\quad c_o=3\\ \text{in},
então
T_{\max}=\frac{12{,}000\cdot(32{,}5\pi)}{3}\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{32{,}5\pi}{3}\approx \frac{102{,}101}{3}\approx 34{,}033{,}7,
portanto
T_{\max}\approx 12{,}000\cdot34{,}033{,}7 \approx 408{,}404{,}4\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Arredondando razoavelmente:
T_{\max}\approx 408{,}400\\ \text{lb}\cdot\text{in}.

Passo 5

Converter o resultado para unidades práticas (kip·in e ft·lb).
  • Em \text{kip}\cdot\text{in} (1 kip = 1{,}000 lb):
T_{\max}\approx \frac{408{,}400}{1{,}000}=408{,}4\\ \text{kip}\cdot\text{in}.
  • Em \text{ft}\cdot\text{lb} (1 ft = 12 in):
T_{\max}\approx \frac{408{,}400}{12}\approx 34{,}033{,}3\\ \text{ft}\cdot\text{lb}.
Observação rápida (didática e útil para prova): a razão fundamental usada aqui é que a tensão de cisalhamento devido a torção cresce linearmente com a distância radial ( \tau\propto r), por isso a superfície externa é crítica; e o termo geométrico que reduz a tensão é o momento polar J, que depende fortemente (quarta potência) das dimensões da seção.

Resposta

T_{\max}\approx 408{,}400\\ \text{lb}\cdot\text{in}=408{,}4\\ \text{kip}\cdot\text{in}\approx 34{,}033{,}3\\ \text{ft}\cdot\text{lb}

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