O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador exige o uso de um eixo oco com diâmetro interno e externo de 4 pol e 6 pol., respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 12 ksi , determine o torque máximo que pode ser transmitido
(b) por um eixo maciço do mesmo peso,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Diâmetro externo do eixo oco: D=6\\ \text{pol}.
  • Diâmetro interno do eixo oco: d=4\\ \text{pol}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=12\\ \text{ksi}=12{,}000\\ \text{psi}.
O enunciado pede:
(a) determinar o torque máximo que o eixo oco pode transmitir sem exceder \tau_{\text{adm}};
(b) determinar o torque máximo que um eixo maciço com o mesmo peso (mesma massa linear) pode transmitir — isto é, encontrar o diâmetro do eixo maciço que tenha a mesma área de seção transversal do oco e calcular o torque máximo correspondente.

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (sem pular etapas): a relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima numa seção circular sujeita a torção é
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em psi);
  • T é o torque (em \text{in}\cdot\text{lb});
  • c é o raio externo da seção (em in);
  • J é o momento polar de inércia da área da seção (em \text{in}^4).
Isolando T obtemos a fórmula prática para o máximo torque admissível:
T=\dfrac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Explicando J para os dois casos:
  • Para um eixo oco circular de diâmetros externo D e interno d,
J_{\text{oço}}=\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^4-d^4\bigr).ç
  • Para um eixo maciço circular de diâmetro D_s,
J_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{32}D_s^4.ç
Aqui c será c=D/2 para o oco (usar o raio externo) e c=D_s/2 para o maciço.

Passo 3

Calcular J do eixo oco. Primeiro calcular as potências:
6^4=1296,\qquad 4^4=256,\qquad 6^4-4^4=1296-256=1040.
Logo
J_{\text{oço} }=\dfrac{\pi}{32}\cdot 1040 = 32{,}5\pi\\ \text{in}^4.ç
Valor numérico aproximado
J_{\text{oço}}\approx 32{,}5\cdot 3{,}14159265 \approx 102{,}10\\ \text{in}^4.ç
O raio externo (para usar em \tau_{\max}=T c/J) é
c_{\text{oço}}=\dfrac{D}{2}=\dfrac{6}{2}=3\\ \text{in}.ç

Passo 4

Calcular o torque máximo do eixo oco usando T=\dfrac{\tau_{\text{adm}}J}{c}. Substituindo:
T_{\text{oço}}=\dfrac{12{,}000\cdot 102{,}101\ldots}{3}\\ \text{in}\cdot\text{lb}.ç
Fazendo a conta:
T_{\text{oço}}=12{,}000\cdot \dfrac{102{,}101\ldots}{3}=12{,}000\cdot 34{,}0337\ldots \approx 408{,}404\\ \text{in}\cdot\text{lb}.ç
Convertendo para \text{ft}\cdot\text{lb} (dividir por 12):
T_{\text{oço}}\approx \dfrac{408{,}404}{12}\approx 34{,}033{,}7\\ \text{ft}\cdot\text{lb}.ç
(Valores também podem ser expressos em \text{kip}\cdot\text{in}: 408{,}404\\ \text{in}\cdot\text{lb}=408{,}404/1{,}000\approx 408{,}4\\ \text{kip}\cdot\text{in}.)

Passo 5

Determinar o diâmetro do eixo maciço que tem o mesmo peso (mesma área de seção transversal). Como a densidade e comprimento são os mesmos, iguala-se a área da seção:
\text{Área}_{\text{oço}}=\text{Área}_{\text{maciço}}.ÁçÁç
Áreas:
\text{Área}_{\text{oço}}=\dfrac{\pi}{4}\bigl(D^2-d^2\bigr),\qquad \text{Área}_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{4}D_s^2.ÁçÁç
Igualando e simplificando \pi/4:
D_s^2=D^2-d^2.
Substituindo D=6 e d=4:
D_s^2=6^2-4^2=36-16=20,
portanto
D_s=\sqrt{20}\\ \text{pol}\approx 4{,}472\\ \text{pol}.
O raio do maciço é
c_{\text{maciço}}=\dfrac{D_s}{2}=\dfrac{\sqrt{20}}{2}\approx 2{,}236\\ \text{in}.ç

Passo 6

Calcular J do eixo maciço com D_s=\sqrt{20}. Observação útil para simplificar: D_s^2=20 implica D_s^4=(D_s^2)^2=20^2=400. Assim
J_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{32}D_s^4=\dfrac{\pi}{32}\cdot 400=12{,}5\pi\\ \text{in}^4.ç
Valor numérico
J_{\text{maciço}}\approx 12{,}5\cdot 3{,}14159265\approx 39{,}27\\ \text{in}^4.ç

Passo 7

Calcular o torque máximo no eixo maciço:
T_{\text{maciço}}=\dfrac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{maciço}}}{c_{\text{maciço}}} =\dfrac{12{,}000\cdot 39{,}2699\ldots}{2{,}2360\ldots}\\ \text{in}\cdot\text{lb}.ççç
Efetuando a conta:
T_{\text{maciço}}\approx 12{,}000\cdot 17{,}5714286\approx 210{,}857\\ \text{in}\cdot\text{lb}.ç
Convertendo para \text{ft}\cdot\text{lb}:
T_{\text{maciço}}\approx \dfrac{210{,}857}{12}\approx 17{,}571{,}4\\ \text{ft}\cdot\text{lb}.ç

Passo 8

Comparação e interpretação (rápida e motivadora): o eixo oco transmite mais torque do que o maciço com o mesmo peso. A razão é
\dfrac{T_{\text{oço}}}{T_{\text{maciço}}}\approx \dfrac{408{,}404}{210{,}857}\approx 1{,}9375,çç
ou seja, o eixo oco transmite cerca de 1{,}94 vezes o torque do maciço de mesmo peso — é uma vantagem estrutural do desenho oco em aplicações de torção.

Resposta

(a) T_{\text{oço}}\approx 4{,}08\times10^{5}\\ \text{in}\cdot\text{lb}=3{,}40\times10^{4}\\ \text{ft}\cdot\text{lb}ç
(b) T_{\text{maciço (mesmo peso)}}\approx 2{,}11\times10^{5}\\ \text{in}\cdot\text{lb}=1{,}76\times10^{4}\\ \text{ft}\cdot\text{lb}ç

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