O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador exige o uso de um eixo oco com diâmetro interno e externo de 4 pol e 6 pol., respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 12 ksi , determine o torque máximo que pode ser transmitido
(b) por um eixo maciço do mesmo peso,
(b) por um eixo maciço do mesmo peso,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do eixo oco:
. - Diâmetro interno do eixo oco:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
.
O enunciado pede:
(a) determinar o torque máximo que o eixo oco pode transmitir sem exceder ;
(b) determinar o torque máximo que um eixo maciço com o mesmo peso (mesma massa linear) pode transmitir — isto é, encontrar o diâmetro do eixo maciço que tenha a mesma área de seção transversal do oco e calcular o torque máximo correspondente.
(a) determinar o torque máximo que o eixo oco pode transmitir sem exceder
(b) determinar o torque máximo que um eixo maciço com o mesmo peso (mesma massa linear) pode transmitir — isto é, encontrar o diâmetro do eixo maciço que tenha a mesma área de seção transversal do oco e calcular o torque máximo correspondente.
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (sem pular etapas): a relação entre torque e tensão de cisalhamento máxima numa seção circular sujeita a torção é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (em psi); -
é o torque (em ); -
é o raio externo da seção (em in); -
é o momento polar de inércia da área da seção (em ).
Isolando
obtemos a fórmula prática para o máximo torque admissível:
Explicando
para os dois casos:
- Para um eixo oco circular de diâmetros externo
e interno ,
- Para um eixo maciço circular de diâmetro
,
Aqui
será
para o oco (usar o raio externo) e
para o maciço.
Passo 3
Calcular
do eixo oco. Primeiro calcular as potências:
Logo
Valor numérico aproximado
O raio externo (para usar em
) é
Passo 4
Calcular o torque máximo do eixo oco usando
. Substituindo:
Fazendo a conta:
Convertendo para
(dividir por 12):
(Valores também podem ser expressos em
:
.)
Passo 5
Determinar o diâmetro do eixo maciço que tem o mesmo peso (mesma área de seção transversal). Como a densidade e comprimento são os mesmos, iguala-se a área da seção:
Áreas:
Igualando e simplificando
:
Substituindo
e
:
portanto
O raio do maciço é
Passo 6
Calcular
do eixo maciço com
. Observação útil para simplificar:
implica
. Assim
Valor numérico
Passo 7
Calcular o torque máximo no eixo maciço:
Efetuando a conta:
Convertendo para
:
Passo 8
Comparação e interpretação (rápida e motivadora): o eixo oco transmite mais torque do que o maciço com o mesmo peso. A razão é
ou seja, o eixo oco transmite cerca de
vezes o torque do maciço de mesmo peso — é uma vantagem estrutural do desenho oco em aplicações de torção.
Resposta
(a)
(b)
(b)