(a) Pronuncie-se a favor ou contra da afirmação do gerente relativo ao tempo médio do processo, ao nível de significância de 5 %.
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente avaliar uma afirmação do gerente sobre o tempo médio de um processo. Isso envolve Teste de Hipóteses, que é parte da Estatística. Vamos precisar entender como formular hipóteses, escolher o teste certo (como o teste z ou t) e interpretar os resultados para decidir se concordamos ou não com o gerente, tudo isso com um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Teste de Hipóteses. Basicamente, é um método estatístico que nos ajuda a decidir se uma afirmação sobre um parâmetro da população (como a média) é verdadeira ou não, com base nos dados da amostra.

Passo 3

No item (a), o exercício pede para pronunciarmos a favor ou contra a afirmação do gerente sobre o tempo médio, com um nível de significância de 5%. Aqui, vamos assumir que a variância populacional é conhecida, então usaremos o teste z.

Passo 4

Vamos lembrar como funciona o teste z:
  1. Hipóteses:
    • Hipótese Nula (H₀): A afirmação do gerente está correta (por exemplo, a média é igual a um certo valor).
    • Hipótese Alternativa (H₁): A afirmação do gerente está incorreta (a média é diferente do valor proposto).
  2. Nível de Significância (α): 5% ou 0,05.
  3. Calcular o valor do teste z usando a fórmula:
    z = barx - mu0sigmaraizn
    Onde:
    • barx é a média da amostra,
    • mu0 é a média proposta pelo gerente,
    • sigma é o desvio padrão da população,
    • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Depois de calcular o valor de z, vamos comparar com o valor crítico do z para 5% de significância (que é aproximadamente 1,96 para um teste bilateral).
  • Se |z| > 1,96: Rejeitamos a Hipótese Nula (contra a afirmação do gerente).
  • Se |z| ≤ 1,96: Não rejeitamos a Hipótese Nula (a favor da afirmação do gerente).

Passo 6

Portanto, dependendo do valor calculado de z, decidimos se concordamos ou não com o gerente sobre o tempo médio do processo.

Passo 7

No item (b), a variância populacional é desconhecida, então não podemos usar o teste z. Ao invés disso, usamos o teste t de Student.

Passo 8

O teste t funciona de forma semelhante ao teste z, mas usamos a distribuição t, que leva em conta a incerteza da estimativa da variância. A fórmula é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • s é o desvio padrão da amostra.

Passo 9

Com o valor de t calculado, comparamos com o valor crítico da distribuição t com n - 1 graus de liberdade para 5% de significância.
  • Se |t| > t_{\alpha/2, n-1}: Rejeitamos a Hipótese Nula.
  • Se |t| ≤ t_{\alpha/2, n-1}: Não rejeitamos a Hipótese Nula.

Passo 10

Assim, com o teste t, também decidimos a favor ou contra a afirmação do gerente, mas agora levando em conta que não sabemos a variância da população.

Resposta

Seguindo os passos acima, podemos pronunciar-nos a favor ou contra a afirmação do gerente sobre o tempo médio do processo com base nos cálculos dos testes z ou t, dependendo se a variância populacional é conhecida ou não, sempre considerando o nível de significância de 5%.

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