(a) Pronuncie-se a favor ou contra da afirmação do gerente relativo ao tempo médio do processo, ao nível de significância de
.
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente avaliar uma afirmação do gerente sobre o tempo médio de um processo. Isso envolve Teste de Hipóteses, que é parte da Estatística. Vamos precisar entender como formular hipóteses, escolher o teste certo (como o teste z ou t) e interpretar os resultados para decidir se concordamos ou não com o gerente, tudo isso com um nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um Teste de Hipóteses. Basicamente, é um método estatístico que nos ajuda a decidir se uma afirmação sobre um parâmetro da população (como a média) é verdadeira ou não, com base nos dados da amostra.
Passo 3
No item (a), o exercício pede para pronunciarmos a favor ou contra a afirmação do gerente sobre o tempo médio, com um nível de significância de 5%. Aqui, vamos assumir que a variância populacional é conhecida, então usaremos o teste z.
Passo 4
Vamos lembrar como funciona o teste z:
-
Hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A afirmação do gerente está correta (por exemplo, a média é igual a um certo valor).
- Hipótese Alternativa (H₁): A afirmação do gerente está incorreta (a média é diferente do valor proposto).
-
Nível de Significância (α): 5% ou 0,05.
-
Calcular o valor do teste z usando a fórmula:Onde:
-
é a média da amostra, -
é a média proposta pelo gerente, -
é o desvio padrão da população, -
é o tamanho da amostra.
-
Passo 5
Depois de calcular o valor de z, vamos comparar com o valor crítico do z para 5% de significância (que é aproximadamente 1,96 para um teste bilateral).
- Se |z| > 1,96: Rejeitamos a Hipótese Nula (contra a afirmação do gerente).
- Se |z| ≤ 1,96: Não rejeitamos a Hipótese Nula (a favor da afirmação do gerente).
Passo 6
Portanto, dependendo do valor calculado de z, decidimos se concordamos ou não com o gerente sobre o tempo médio do processo.
Passo 7
No item (b), a variância populacional é desconhecida, então não podemos usar o teste z. Ao invés disso, usamos o teste t de Student.
Passo 8
O teste t funciona de forma semelhante ao teste z, mas usamos a distribuição t, que leva em conta a incerteza da estimativa da variância. A fórmula é:
Onde:
-
é o desvio padrão da amostra.
Passo 9
Com o valor de t calculado, comparamos com o valor crítico da distribuição t com
graus de liberdade para 5% de significância.
- Se |t| > t_{\alpha/2, n-1}: Rejeitamos a Hipótese Nula.
- Se |t| ≤ t_{\alpha/2, n-1}: Não rejeitamos a Hipótese Nula.
Passo 10
Assim, com o teste t, também decidimos a favor ou contra a afirmação do gerente, mas agora levando em conta que não sabemos a variância da população.
Resposta
Seguindo os passos acima, podemos pronunciar-nos a favor ou contra a afirmação do gerente sobre o tempo médio do processo com base nos cálculos dos testes z ou t, dependendo se a variância populacional é conhecida ou não, sempre considerando o nível de significância de 5%.