Propõe-se substituir a carcaça de ferro fundido de uma furadeira elétrica por outra com exatamente as mesmas dimensões, porém, moldada de náilon. O custo da carcaça de náilon será maior ou menor do que o da carcaça de ferro fundido? Use os dados da tabela abaixo.
Material Densidade \left(\mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}\right) Custo ((\mathrm{R}
) / \mathrm{Kg})$
Ferro Fundido 7150 4,00
Náilon 1130 21,00

Passo 1

O enunciado pergunta se, mantendo exatamente as mesmas dimensões (logo, o mesmo volume), a carcaça moldada de náilon terá custo maior ou menor do que a carcaça de ferro fundido. As informações dadas são as seguintes (retiradas da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Ferro fundido:} & \rho_{\text{ferro}} = 7150\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \text{preço} = \text{R\$ }4{,}00/\mathrm{kg}.\\[4pt] \text{Náilon:} & \rho_{\text{náilon}} = 1130\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \text{preço} = \text{R\$ }21{,}00/\mathrm{kg}. \end{array}çááç
O que precisa ser respondido: “o custo da carcaça de náilon será maior ou menor do que o da carcaça de ferro fundido?” (Considerar mesma geometria/volume para ambas.)]

Passo 2

Entendimento físico e fórmula para a massa: para um corpo homogêneo, a massa depende da densidade e do volume. A relação é
m = \rho \, V,
onde m é a massa em \mathrm{kg}, \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}} e V é o volume em \mathrm{m^{3}}.
Explicando: densidade é “quanto de massa tem por unidade de volume”. Se duas peças têm o mesmo volume, a peça com maior densidade terá maior massa.

Passo 3

Fórmula para o custo: o custo total de uma peça é o produto da massa pela tarifa por quilograma. Assim, para um material qualquer,
\text{Custo} = m \times (\text{preço por kg}) = (\rho V)\times p,ç
onde p é o preço em \text{R\$}/\mathrm{kg}. Aqui cada variável significa:
  • \rho: densidade do material ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • V: volume da carcaça ( \mathrm{m^{3}}), igual para as duas;
  • p: preço por massa ( \text{R\$}/\mathrm{kg});
  • \text{Custo}: custo total da carcaça (R$).

Passo 4

Comparação sem conhecer V: como as duas carcaças têm exatamente o mesmo volume V, ao comparar os custos esse V aparece em ambos os lados e pode ser tratado como fator comum. Ou seja, comparemos o “custo por unidade de volume” que é \rho\cdot p. Se esse produto for menor para o náilon, então para qualquer V a carcaça de náilon será mais barata.
Portanto calculamos
\text{Custo por volume} = \rho \cdot p.

Passo 5

Calcular o custo por volume para cada material (vou avaliar para V=1\\ \mathrm{m^{3}}, o que dá o custo por \mathrm{m^{3}}, e isso já permite comparar):
Para o ferro fundido:
\text{Custo}_{\text{ferro por }m^{3}} = \rho_{\text{ferro}}\cdot p_{\text{ferro}} = 7150\cdot \text{R\$}4{,}00 = \text{R\$ }28600.
Para o náilon:
\text{Custo}_{\text{náilon por }m^{3}} = \rho_{\text{náilon}}\cdot p_{\text{náilon}} = 1130\cdot \text{R\$}21{,}00 = \text{R\$ }23730.ááá
Expliquei os passos: multipliquei a densidade (kg por m^3) pelo preço (R$por kg) para obter R$ por m^3.

Passo 6

Comparação numérica e conclusão: como
\text{R\$}23730 < \text{R\$ }28600,
o custo por mesmo volume é menor para o náilon. A diferença absoluta é
28600-23730=\text{R\$ }4870\\ \text{por m}^{3},
ou seja, o náilon sai cerca de \dfrac{4870}{28600}\approx 0{,}1703 (ou 17{,}0\%) mais barato por volume do que o ferro fundido.
Portanto, para carcaças com exatamente as mesmas dimensões (mesmo volume), a carcaça de náilon terá custo menor.

Resposta

A carcaça de náilon terá custo menor: náilon = \text{R\$}23730/\mathrm{m^{3}} versus ferro fundido = \text{R\$ }28600/\mathrm{m^{3}}.

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