Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
(\exists x) A(x) \wedge(\exists x) B(x)] \rightarrow(\exists x)(A(x) \wedge B(x))\)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula
\bigl[(\exists x)\,A(x)\wedge(\exists x)\,B(x)\bigr]\;\to\;(\exists x)\bigl[A(x)\wedge B(x)\bigr]
como tautologia, contradição ou contingência.
Uma tautologia é verdadeira em toda interpretação, uma contradição é falsa em toda interpretação, e uma contingência é verdadeira em algumas interpretações e falsa em outras.

Passo 2

Mostramos que não é tautologia encontrando uma interpretação que a torna falsa.
Escolha o domínio D=\{1,2\} e defina
A(1)=\text{V},\;A(2)=\text{F}, \qquad B(1)=\text{F},\;B(2)=\text{V}.
Então
(\exists x)\,A(x)=\text{V} \quad\text{(pois \(x=1\) funciona),} \qquad (\exists x)\,B(x)=\text{V} \quad\text{(pois \(x=2\) funciona),}
logo o antecedente é V. Mas
(\exists x)\bigl[A(x)\wedge B(x)\bigr]=\text{F}
porque não há x em que A e B sejam ambas verdadeiras. Portanto a implicação é falsa nessa interpretação, e a fórmula não é tautologia.

Passo 3

Mostramos que não é contradição encontrando uma interpretação que a torna verdadeira.
Tome o domínio D=\{1\} e defina
A(1)=\text{V},\;B(1)=\text{V}.
Então
(\exists x)\,A(x)=\text{V}, \quad (\exists x)\,B(x)=\text{V}, \quad (\exists x)[A(x)\wedge B(x)]=\text{V},
e a implicação V \toV vale V. Logo a fórmula é verdadeira nesta interpretação, mostrando que não é contradição.

Passo 4

Como existem interpretações que tornam a fórmula verdadeira e outras que a tornam falsa, concluímos que ela é uma contingência.

Resposta

A fórmula
\bigl[(\exists x)\,A(x)\wedge(\exists x)\,B(x)\bigr]\;\to\;(\exists x)\bigl[A(x)\wedge B(x)\bigr]
é uma contingência.

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