Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a fórmula
como tautologia, contradição ou contingência. Aqui vamos usar o significado semântico de “
” e a noção de tautologia (verdadeira em toda interpretação, inclusive domínio vazio).
Passo 2
Mostramos primeiro
Se
é verdadeira, existe um elemento
tal que
vale.
- Se
vale, então vale e, portanto, o lado direito é verdadeiro. - Se
vale, então vale e, portanto, o lado direito é verdadeiro.
Em qualquer caso, o lado direito vale.
Passo 3
Agora a implicação inversa
Se
vale, há duas possibilidades:
- Se
vale, então existe com . Logo vale, e assim vale. - Se
vale, raciocínio análogo mostra que vale.
Passo 4
Como mostramos ambas as direções, a bicondicional é sempre verdadeira, em qualquer domínio e para qualquer interpretação de
e
. Isso significa que a fórmula é verdadeira em todas as interpretações.
Resposta
A fórmula é uma tautologia.