Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
(\exists x)(A(x) \vee B(x))] \leftrightarrow[(\exists x) A(x) \vee(\exists x) B(x)]\)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula
(\exists x)\bigl(A(x)\vee B(x)\bigr)\;\leftrightarrow\;\bigl[(\exists x)A(x)\;\vee\;(\exists x)B(x)\bigr]
como tautologia, contradição ou contingência. Aqui vamos usar o significado semântico de “ \exists” e a noção de tautologia (verdadeira em toda interpretação, inclusive domínio vazio).

Passo 2

Mostramos primeiro
(\exists x)\bigl(A(x)\vee B(x)\bigr)\;\implies\;(\exists x)A(x)\;\vee\;(\exists x)B(x).
Se \exists x\,(A(x)\vee B(x)) é verdadeira, existe um elemento c tal que A\text{(c)}\vee B\text{(c)} vale.
  • Se A\text{(c)} vale, então \exists x\,A(x) vale e, portanto, o lado direito é verdadeiro.
  • Se B\text{(c)} vale, então \exists x\,B(x) vale e, portanto, o lado direito é verdadeiro.
    Em qualquer caso, o lado direito vale.

Passo 3

Agora a implicação inversa
(\exists x)A(x)\;\vee\;(\exists x)B(x)\;\implies\;(\exists x)\bigl(A(x)\vee B(x)\bigr).
Se (\exists x)A(x)\vee(\exists x)B(x) vale, há duas possibilidades:
  • Se \exists x\,A(x) vale, então existe d com A(d). Logo A(d)\vee B(d) vale, e assim \exists x\bigl(A(x)\vee B(x)\bigr) vale.
  • Se \exists x\,B(x) vale, raciocínio análogo mostra que \exists x\bigl(A(x)\vee B(x)\bigr) vale.

Passo 4

Como mostramos ambas as direções, a bicondicional é sempre verdadeira, em qualquer domínio e para qualquer interpretação de A e B. Isso significa que a fórmula é verdadeira em todas as interpretações.

Resposta

A fórmula é uma tautologia.

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