Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
Passo 1
O enunciado apresenta a fórmula de lógica de predicados
e pergunta se ela é uma tautologia, contradição ou contingência. Aqui o conteúdo é semântica de lógica de predicados, usando quantificadores e implicação. Vamos mostrar que essa fórmula é verdadeira em toda interpretação, isto é, é uma tautologia.
Passo 2
Para testar se uma fórmula na lógica de predicados é tautologia, verificamos que, em qualquer domínio não vazio e para qualquer interpretação do predicado
, toda vez que o antecedente é verdadeiro, o consequente também será verdadeiro, garantindo que a implicação seja sempre verdadeira.
Passo 3
Suponha que, em alguma interpretação arbitrária,
seja verdadeiro. Isso significa que existe um elemento no domínio tal que, para todo
,
é verdadeiro.
seja verdadeiro. Isso significa que existe um elemento
Passo 4
Dado esse mesmo elemento
, para cada
fixo temos
. Logo, para cada
existe um
— precisamente
— tal que
. Em símbolos:
é verdadeiro.
Passo 5
Concluímos que sempre que o antecedente
é verdadeiro, o consequente
também o é. Portanto, a implicação é verdadeira em toda interpretação.
Resposta
A fórmula
é uma tautologia.