Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
(\forall x) A(x) \rightarrow(\forall x) B(x)] \rightarrow[(\forall x)(A(x) \rightarrow B(x))]\)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula
\bigl((\forall x)A(x)\to(\forall x)B(x)\bigr)\;\to\;(\forall x)\bigl(A(x)\to B(x)\bigr)
como tautologia (válida em toda interpretação), contradição (falsa em toda interpretação) ou contingência (verdadeira em algumas e falsa em outras). Vamos usar semântica de lógica de predicados, exibindo interpretações que tornam a fórmula falsa e outras que a tornam verdadeira.

Passo 2

Mostrando que não é tautologia: basta exibir um contra‐exemplo, isto é, um modelo em que a fórmula seja falsa. Seja o domínio D=\{d_1,d_2\} e definamos a interpretação de A e B assim:
A(d_1)=\text{F},\quad A(d_2)=\text{T},\qquad B(d_1)=\text{F},\quad B(d_2)=\text{F}.
Então
  1. (\forall x)A(x) é falso (pois A(d_1)=\text{F}),
  2. (\forall x)B(x) é falso (pois B(d_1)=\text{F}),
  3. Logo (\forall x)A(x)\to(\forall x)B(x) é verdadeiro (implicação com antecedente falso).
Por outro lado, no mesmo modelo existe d_2 tal que A(d_2)=\text{T} e B(d_2)=\text{F}, então
A(d_2)\to B(d_2)
é falso, e daí
(\forall x)(A(x)\to B(x)) é falso.
Como antecedente da implicação externa é verdadeiro e o consequente é falso, toda a fórmula é falsa neste modelo. Logo não é tautologia.

Passo 3

Mostrando que não é contradição: basta exibir uma interpretação em que a fórmula seja verdadeira. Tome qualquer domínio e faça A(x) sempre falso (por exemplo, A(d)=\text{F} para todo d). Então (\forall x)A(x) é falso, e qualquer implicação com antecedente falso é verdadeira. Assim
(\forall x)A(x)\to(\forall x)B(x)
é verdadeira em qualquer atribuição de B, e logo toda a fórmula é verdadeira.

Passo 4

Conclusão: a fórmula é falsa em alguns modelos e verdadeira em outros. Portanto ela não é nem tautologia nem contradição, mas sim uma contingência.

Resposta

A fórmula é uma contingência.

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