Quais das proposições seguintes são tautologias, quais são contradições e quais são contingências? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a fórmula
como tautologia (válida em toda interpretação), contradição (falsa em toda interpretação) ou contingência (verdadeira em algumas e falsa em outras). Vamos usar semântica de lógica de predicados, exibindo interpretações que tornam a fórmula falsa e outras que a tornam verdadeira.
Passo 2
Mostrando que não é tautologia: basta exibir um contra‐exemplo, isto é, um modelo em que a fórmula seja falsa. Seja o domínio
e definamos a interpretação de
e
assim:
Então
-
é falso (pois ), -
é falso (pois ), - Logo
é verdadeiro (implicação com antecedente falso).
Por outro lado, no mesmo modelo existe
tal que
e
, então
é falso, e daí
é falso.
Como antecedente da implicação externa é verdadeiro e o consequente é falso, toda a fórmula é falsa neste modelo. Logo não é tautologia.
Passo 3
Mostrando que não é contradição: basta exibir uma interpretação em que a fórmula seja verdadeira. Tome qualquer domínio e faça
sempre falso (por exemplo,
para todo
). Então
é falso, e qualquer implicação com antecedente falso é verdadeira. Assim
é verdadeira em qualquer atribuição de
, e logo toda a fórmula é verdadeira.
Passo 4
Conclusão: a fórmula é falsa em alguns modelos e verdadeira em outros. Portanto ela não é nem tautologia nem contradição, mas sim uma contingência.
Resposta
A fórmula é uma contingência.