Quais das proposições a seguir são tautologias, quais são contradições?
((p \rightarrow q) \leftrightarrow r) \rightarrow(p \rightarrow(q \leftrightarrow r))

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição
\bigl((p \to q)\leftrightarrow r\bigr)\;\to\;\bigl(p\to(q\leftrightarrow r)\bigr)
e pede para verificar se ela é tautologia, contradição ou contingente. O conteúdo envolve lógica proposicional e análise de implicação.

Passo 2

Recordamos que uma implicação \,A\to B é verdadeira sempre que \neg A ou B for verdadeiro. Vamos, portanto, analisar separadamente os casos p=\text{falso} e p=\text{verdadeiro}.

Passo 3

Caso p= falso:
\;p\to(q\leftrightarrow r) vale verdadeiro para quaisquer valores de q e r. Logo, o consequente da implicação principal é verdadeiro, o que faz
\bigl((p \to q)\leftrightarrow r\bigr)\to\bigl(p\to(q\leftrightarrow r)\bigr)
sempre verdadeiro quando p é falso.

Passo 4

Caso p= verdadeiro:
p\to q \equiv q, \qquad p\to(q\leftrightarrow r)\equiv(q\leftrightarrow r).
Portanto a fórmula se reduz a
(q\leftrightarrow r)\;\to\;(q\leftrightarrow r),
que é uma tautologia (sempre verdadeira independentemente de q e r).

Resposta

A proposição dada é uma tautologia.

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