Quais as propriedades do determinante?
Passo 1
Vamos lá! Você me perguntou sobre as propriedades do determinante. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, onde o determinante é uma função que associa uma matriz quadrada a um número real (ou complexo). Para entender e resolver essa questão, vamos precisar conhecer as principais propriedades que o determinante possui.
Passo 2
Primeira propriedade: Determinante de uma matriz identidade. A matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições, sempre tem determinante igual a 1. Isso porque não altera o espaço quando aplicada em uma transformação linear.
Passo 3
Segunda propriedade: Multiplicação por um escalar. Se você multiplica uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número
, o determinante da matriz resultante será
vezes o determinante da matriz original. Ou seja, multiplicar uma linha por
escala o determinante por
.
Passo 4
Terceira propriedade: Troca de linhas. Se você troca duas linhas (ou colunas) de uma matriz, o sinal do determinante muda. Por exemplo, se o determinante original era
, após a troca será
.
Passo 5
Quarta propriedade: Matriz triangular. O determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero) é igual ao produto dos elementos na diagonal principal. Isso simplifica bastante o cálculo do determinante.
Passo 6
Quinta propriedade: Determinante do produto. O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Em fórmula,
.
Passo 7
Sexta propriedade: Matriz transposta. O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja,
.
Passo 8
Sétima propriedade: Matriz invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Além disso, o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
.
Resposta
As principais propriedades do determinante são:
- Determinante da matriz identidade:
. - Multiplicação por um escalar: Multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por . - Troca de linhas: Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
- Matriz triangular:
é o produto dos elementos da diagonal principal. - Determinante do produto:
. - Matriz transposta:
. - Matriz invertível:
e .