1. A proprietária de um restaurante considera que seus fregueses bebem 540 caixas de um certo vinho por ano. Os gastos de encomendas são 10 reais e os custos de transporte são 3 reais por caixa por ano. Quantas caixas ela deve encomendar de cada vez?
    Temos \frac{540}{x} encomendas. Assim, o custo total das encomendas em um ano é dado por,
C(x)=(10+3 x) \frac{540}{x}=\frac{5400}{x}+1620

Passo 1

O enunciado dá demanda anual de 540 caixas, custo por pedido de 10 reais e custo de armazenagem de 3 reais por caixa por ano. Queremos achar a quantidade x que minimiza o custo total anual de pedidos mais armazenagem, ou seja, aplicar o modelo da Quantidade Econômica de Pedido (EOQ).

Passo 2

O custo total anual de pedidos é dado por
\text{C}_\text{pedido} = \frac{D}{x}\,S
onde D=540 é a demanda anual, x é o tamanho de cada pedido e S=10 é o custo por pedido. Logo,
\text{C}_\text{pedido} = \frac{540}{x}\cdot 10 = \frac{5400}{x}.

Passo 3

O custo total anual de armazenagem (manutenção) é
\text{C}_\text{armazenagem} = H\cdot\frac{x}{2}
onde H=3 é o custo por caixa por ano e x/2 é o estoque médio. Portanto,
\text{C}_\text{armazenagem} = 3\cdot\frac{x}{2} = 1{,}5\,x.

Passo 4

Somando os dois termos, a função custo total anual é
C(x) = \frac{5400}{x} + 1{,}5\,x.

Passo 5

Para minimizar C(x), igualamos sua derivada a zero:
C'(x) = -\frac{5400}{x^2} + 1{,}5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5400}{x^2} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{5400}{1{,}5} = 3600 \quad\Longrightarrow\quad x = 60.

Passo 6

Verificamos que C''(x)=\frac{10800}{x^3}>0 para x>0, confirmando mínimo em x=60.

Resposta

A proprietária deve encomendar 60 caixas de cada vez.

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