Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. 10 alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma turma de 40 alunos que fizeram uma prova com duas questões. Sabemos que:
  • 10 alunos acertaram as duas questões.
  • 25 alunos acertaram a primeira questão.
  • 20 alunos acertaram a segunda questão.
Queremos descobrir quantos alunos erraram as duas questões. Para resolver isso, vamos usar um pouco da teoria de conjuntos, especificamente o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos alunos acertaram pelo menos uma das questões. Para isso, usamos a fórmula do princípio da inclusão-exclusão:
n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B)
Onde:
  • $ n(A) $ é o número de alunos que acertaram a primeira questão (25).
  • $ n(B) $ é o número de alunos que acertaram a segunda questão (20).
  • $ n(A \cap B) $ é o número de alunos que acertaram as duas questões (10).

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula:
n(A cup B) = 25 + 20 - 10 = 35
Isso significa que 35 alunos acertaram pelo menos uma das questões.

Passo 4

Agora, para encontrar quantos alunos erraram as duas questões, basta subtrairmos o número de alunos que acertaram pelo menos uma questão do total de alunos:
Alunos que erraram ambas = Total de alunos - n(A cup B) = 40 - 35 = 5

Resposta

Então, 5 alunos erraram as duas questões.

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