Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=2 x-5;

Passo 1

O enunciado dá a função \,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\, definida por
f(x)=2x-5.
O que se pede:
  1. provar que \,f\, é bijetora (isto é, mostrar que é injetora e sobrejetora); 2) determinar a função inversa \,f^{-1}\,.

Passo 2

Definição e estratégia para injetividade. Lembre-se: uma função f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então obrigatoriamente x_1=x_2. Vou aplicar essa definição diretamente à função dada. Seja x_1,x_2\in\mathbb{R} e suponha que
f(x_1)=f(x_2).
Substituindo a regra f(x)=2x-5 obtemos
2x_1-5 = 2x_2-5.
Agora explico a manipulação algébrica passo a passo: subtrai-se -5 de ambos os lados (isto cancela o -5 em cada membro), restando
2x_1 = 2x_2.
Em seguida divide-se ambos os lados por 2 (note que 2\neq 0, então a divisão é válida), obtendo
x_1 = x_2.
Concluímos, pela definição, que f é injetora.

Passo 3

Definição e estratégia para sobrejetividade. Lembre-se: f é sobrejetora se, para todo y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Vou tomar um y qualquer em \mathbb{R} e resolver a equação f(x)=y para x. Começo com
y = 2x - 5.
Agora resolvo para x: adiciono 5 aos dois lados,
y + 5 = 2x,
e então divido por 2,
x = \frac{y+5}{2}.
Observe que, para qualquer y\in\mathbb{R}, a expressão \tfrac{y+5}{2} é um número real (a soma e a divisão de reais são reais). Logo, para cada y existe um x\in\mathbb{R} dado por x=\tfrac{y+5}{2} tal que f(x)=y. Portanto f é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão sobre bijetividade. Já mostramos que f é injetora (Passo 2) e sobrejetora (Passo 3). Por definição, uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora é bijetora. Assim \,f é bijetora.

Passo 5

Determinação da inversa. Para encontrar f^{-1} podemos usar a equação do Passo 3: para y=f(x) temos x=\tfrac{y+5}{2}. Isso mostra que a inversa, vista como função que recebe um valor y e devolve x, é
f^{-1}(y)=\frac{y+5}{2}.
É costume trocar o nome da variável y por x ao escrever a expressão final da inversa. Assim,
f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (checar que realmente é inversa). Preciso verificar as composições f(f^{-1}(x)) e f^{-1}(f(x)) dão identidade.
Primeiro,
f\big(f^{-1}(x)\big)=f\!\left(\frac{x+5}{2}\right)=2\cdot\frac{x+5}{2}-5=(x+5)-5=x.
Segundo,
f^{-1}\big(f(x)\big)=f^{-1}(2x-5)=\frac{(2x-5)+5}{2}=\frac{2x}{2}=x.
Como ambas composições retornam x, a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 7

Resumo didático e dica para prova. A função linear geral \,x\mapsto ax+b\, com a\neq 0 é sempre bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}; a inversa é \,x\mapsto \dfrac{x-b}{a}. Aqui a=2 e b=-5, por isso a inversa ficou \,x\mapsto\dfrac{x+5}{2}. Se bater desespero na prova, lembrar dessa fórmula salva tempo!

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}

Exercícios relacionados