Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
tal que
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- provar que
é bijetora (isto é, mostrar que é injetora e sobrejetora); 2) determinar a função inversa .
Passo 2
Definição e estratégia para injetividade. Lembre-se: uma função
é injetora se, sempre que
, então obrigatoriamente
. Vou aplicar essa definição diretamente à função dada. Seja
e suponha que
Substituindo a regra
obtemos
Agora explico a manipulação algébrica passo a passo: subtrai-se
de ambos os lados (isto cancela o
em cada membro), restando
Em seguida divide-se ambos os lados por
(note que
, então a divisão é válida), obtendo
Concluímos, pela definição, que
é injetora.
Passo 3
Definição e estratégia para sobrejetividade. Lembre-se:
é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
. Vou tomar um
qualquer em
e resolver a equação
para
. Começo com
Agora resolvo para
: adiciono
aos dois lados,
e então divido por
,
Observe que, para qualquer
, a expressão
é um número real (a soma e a divisão de reais são reais). Logo, para cada
existe um
dado por
tal que
. Portanto
é sobrejetora.
Passo 4
Conclusão sobre bijetividade. Já mostramos que
é injetora (Passo 2) e sobrejetora (Passo 3). Por definição, uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora é bijetora. Assim
é bijetora.
Passo 5
Determinação da inversa. Para encontrar
podemos usar a equação do Passo 3: para
temos
. Isso mostra que a inversa, vista como função que recebe um valor
e devolve
, é
É costume trocar o nome da variável
por
ao escrever a expressão final da inversa. Assim,
Passo 6
Verificação rápida (checar que realmente é inversa). Preciso verificar as composições
e
dão identidade.
Primeiro,
Primeiro,
Segundo,
Como ambas composições retornam
, a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 7
Resumo didático e dica para prova. A função linear geral
com
é sempre bijetora de
em
; a inversa é
. Aqui
e
, por isso a inversa ficou
. Se bater desespero na prova, lembrar dessa fórmula salva tempo!