Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
tal que
.
Passo 1
O problema dá uma função
definida por
O que nos pedem:
- Mostrar que
é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). - Determinar a inversa de
(uma função tal que para todo e para todo ).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Domínio e contradomínio são todos os números reais
. - A fórmula explícita é
.
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma simples):
- Uma função é injetora se valores diferentes da entrada sempre dão valores diferentes na saída. Formalmente:
é injetora se, sempre que , então . - Uma função é sobrejetora se todo valor do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio. Formalmente:
é sobrejetora se, para todo , existe tal que . - Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Neste caso existe uma única função inversa
.
Vou primeiro provar injetividade, depois sobrejetividade, e por fim escrever a inversa e verificar que ela realmente é inversa.
Passo 3
Prova da injetividade de
.
Tomemos
e suponha que
Queremos concluir que
.
Caso 1:
. Então
e portanto
. Logo
.
Caso 2:
. Dividindo a igualdade por
obtemos
Seja
. Temos
. Agora mostro que a única solução real dessa equação é
.
- Se
, então, multiplicando por si mesmo cinco vezes, fica claro que . - Se
, então (potências de um número positivo menor que ficam menores). - Se
, então .
Assim, a única possibilidade que dá
é
. Logo
, isto é,
.
Como em ambos os casos
, concluímos que
é injetora.
Comentário didático: a ideia é simples — elevar ao quinto é uma operação que preserva a ordem entre reais (um número maior que 1 tem quinta potência maior que 1; um número negativo tem quinta potência negativa), então não há como dois números distintos terem a mesma quinta potência.
Passo 4
Prova da sobrejetividade de [h).
Queremos mostrar: dado qualquer
, existe
tal que
.
Construa
explicitamente assim:
Aqui
quando
; para
tomamos a raiz quinta de
e colocamos sinal negativo, pois a quinta raiz de um número negativo é negativa (por exemplo,
).
Verificação direta:
- Se
, então . - Se
, escrevendo , então .
Assim, para cada
construímos um
que satisfaz
. Portanto
é sobrejetora.
Comentário didático: polinômios de grau ímpar como
vão para
quando
e para
quando
, e são contínuos; por isso cruzam qualquer valor real exatamente uma vez — aqui fornecemos a raiz explícita.]
Passo 5
Conclusão sobre bijetividade e definição da inversa.
Já mostrei que
é injetora e sobrejetora; logo
é bijetora. A inversa
é a função que associa a cada
o real
tal que
. Escrevemos de forma compacta:
Agora verifico que essa é de fato a inversa (verificações diretas, dois lados):
- Para todo
,
pois a raiz quinta de
devolve
para qualquer real
(a raiz quinta é a operação inversa de elevar à quinta potência quando trabalhamos em
).
- Para todo
,
Portanto
é a inversa desejada.