Prove que cada função abaixo é bijetora e determine a sua inversa.
h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que h(x)=x^{5}.

Passo 1

O problema dá uma função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
h(x)=x^{5}.
O que nos pedem:
  • Mostrar que h é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora).
  • Determinar a inversa de h (uma função h^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que h^{-1}(h(x))=x para todo x e h(h^{-1}(y))=y para todo y).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Domínio e contradomínio são todos os números reais \mathbb{R}.
  • A fórmula explícita é h(x)=x^{5}.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma simples):
  • Uma função é injetora se valores diferentes da entrada sempre dão valores diferentes na saída. Formalmente: h é injetora se, sempre que h(x_1)=h(x_2), então x_1=x_2.
  • Uma função é sobrejetora se todo valor do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio. Formalmente: h é sobrejetora se, para todo y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que h(x)=y.
  • Uma função é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Neste caso existe uma única função inversa h^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Vou primeiro provar injetividade, depois sobrejetividade, e por fim escrever a inversa e verificar que ela realmente é inversa.

Passo 3

Prova da injetividade de h.
Tomemos x_1,x_2\in\mathbb{R} e suponha que
x_1^{5}=x_2^{5}.
Queremos concluir que x_1=x_2.
Caso 1: x_2=0. Então x_1^{5}=0 e portanto x_1=0. Logo x_1=x_2.
Caso 2: x_2\neq 0. Dividindo a igualdade por x_2^{5} obtemos
\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{5}=1.
Seja t=\dfrac{x_1}{x_2}. Temos t^{5}=1. Agora mostro que a única solução real dessa equação é t=1.
  • Se t>1, então, multiplicando t por si mesmo cinco vezes, fica claro que t^{5}>1.
  • Se 0<t<1, então t^{5}<1 (potências de um número positivo menor que 1 ficam menores).
  • Se t\le 0, então t^{5}\le 0<1.
Assim, a única possibilidade que dá t^{5}=1 é t=1. Logo \dfrac{x_1}{x_2}=1, isto é, x_1=x_2.
Como em ambos os casos x_1=x_2, concluímos que h é injetora.
Comentário didático: a ideia é simples — elevar ao quinto é uma operação que preserva a ordem entre reais (um número maior que 1 tem quinta potência maior que 1; um número negativo tem quinta potência negativa), então não há como dois números distintos terem a mesma quinta potência.

Passo 4

Prova da sobrejetividade de [h).
Queremos mostrar: dado qualquer y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que x^{5}=y.
Construa x explicitamente assim:
x = \begin{cases} y^{1/5}, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] - (|y|)^{1/5}, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y^{1/5}\] denota a raiz quinta não-negativa de \(y quando y\ge 0; para y<0 tomamos a raiz quinta de |y| e colocamos sinal negativo, pois a quinta raiz de um número negativo é negativa (por exemplo, ( -a)^{5} = -a^{5}).
Verificação direta:
  • Se y\ge 0, então \big(y^{1/5}\big)^{5}=y.
  • Se y<0, escrevendo y = -|y|, então \big(-|y|^{1/5}\big)^{5} = -(|y|^{1/5})^{5} = -|y| = y.
Assim, para cada y construímos um x que satisfaz x^{5}=y. Portanto h é sobrejetora.
Comentário didático: polinômios de grau ímpar como x^5 vão para -\infty quando x\to -\infty e para +\infty quando x\to +\infty, e são contínuos; por isso cruzam qualquer valor real exatamente uma vez — aqui fornecemos a raiz explícita.]

Passo 5

Conclusão sobre bijetividade e definição da inversa.
Já mostrei que h é injetora e sobrejetora; logo h é bijetora. A inversa h^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é a função que associa a cada y o real x tal que x^{5}=y. Escrevemos de forma compacta:
h^{-1}(y)=y^{1/5}.
Agora verifico que essa é de fato a inversa (verificações diretas, dois lados):
  • Para todo x\in\mathbb{R},
h^{-1}\big(h(x)\big)=h^{-1}\big(x^{5}\big)=\big(x^{5}\big)^{1/5}=x,
pois a raiz quinta de x^{5} devolve x para qualquer real x (a raiz quinta é a operação inversa de elevar à quinta potência quando trabalhamos em \mathbb{R}).
  • Para todo y\in\mathbb{R},
h\big(h^{-1}(y)\big)=\big(y^{1/5}\big)^{5}=y.
Portanto h^{-1}(y)=y^{1/5} é a inversa desejada.

Resposta

h é bijetora.
h^{-1}(y)=y^{1/5}.

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